リーマンゼータ関数について
ドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1826-1866)によって1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」において導入された関数である「リーマンゼータ関数」ζ(s)というものがある。これはすべての自然数をs乗(指数関数によって、nˢ=eˢˡᵒᵍⁿとして定義)してそれの逆数を足し合わせたものとして定義され、一般に実部が1より大きい複素数にて収束して意味を持つ。
もとはオイラー(1707-1783)によってsが正整数の場合が研究されており、彼はこれに関してs=2でのあ値を調べて「全ての平方数の逆数の和はπ²/6である」という定理(バーゼル問題)を示した。さらに彼は「発散級数をうまく処理」することで、本来発散するはずのs<0の場合に関していくつかの値を求めている(これに関して最も有名なものは"1+2+3+...=-1/12"という式であるが、これは正確な表記ではない)。
素数分布とリーマン予想
リーマンはオイラーが行った「s<0に対するリーマンゼータ関数の研究」をより詳しく行い、解析接続と呼ばれる手法を用いて全ての複素数s(ただしs=1を除く)に対してリーマンゼータ関数を定義した。この解析接続されたリーマンゼータ関数を巧みに用いて、「リーマンの素数公式」というものを証明した。これは適当な正の数xに対しx以下の素数の個数π(x)を正確に与える公式であり、素数分布の解明のための大きな鍵となった。
この公式は大まかに分けると「主要項」と「誤差項」の二つからなり、主要項の方は対数積分と呼ばれる関数で表記され、この項だけで素数の個数をある程度は精度良く数えることができた。
しかし問題は誤差項であり、これを詳しく計算するには「リーマンゼータ関数の零点」を知る必要があった。零点とは関数の値が0になる点であり、即ちここでは方程式ζ(ρ)=0の解ρのことである。オイラーの示した結果として「任意の正整数nに対しζ(-2n)=0」というものがあり、負の偶数が上記方程式の解となることは既に分かっていた。この情報は素数公式の誤差項にとってそれほど重要ではないので、負の偶数は「自明な零点」と呼ばれる。
負の偶数でない零点、即ち「非自明な零点」というものをリーマンは詳しく調べた。手計算によっていくつか非自明な零点の値を出し、最初の4つは全て実部が1/2であることを確認した。ここからリーマンが考えたのが「リーマンゼータ関数の非自明な零点の実部は全て1/2であろう」というリーマン予想である。これが証明されると、素数公式の誤差項がより精密に計算できるようになり、素数分布がよりわかるようになる、というわけである。
なお、現在ではコンピュータによる計算で最初の10兆個の非自明な零点は実部が1/2であるとわかっている。しかし、無限個ある非自明な零点にとって10兆個などたかが有限であり、リーマン予想に対して懐疑的な数学者がいるのも事実である。
注意
ＴＶ番組などで「リーマン予想が解けると世界中の暗号が破られてしまう」と報道されることがあるが、これは誤りである。RSA暗号など素数の性質を利用した暗号はいくつかあるが、これらは「素因数分解の難しさ」を利用したものであり、素数分布そのものを使って作られた暗号ではない。
リーマン予想が解けて分かるのは素数分布であり、素因数分解の効率的なやり方ではないのである（むしろ同じミレニアム懸賞問題のP≠NP予想の方がこの問題を扱っている。ちなみにこちらも未解決）
