ミレニアム懸賞問題
みれにあむけんしょうもんだい
ミレニアム懸賞問題とは、アメリカのクレイ数学研究所が2000年に発表した全7問の数学問題。2020年現在で1問しか解かれていない。
概要
アメリカ・マサチューセッツ州にあるクレイ数学研究所という非営利組織によって2000年に発表された非常に難解な計算問題。
全7問あるが、2020年現在まだ1問しか解かれていない。
1問正解するごとに賞金100万ドルがもらえる。賞金を受け取るためには、自分の回答が数学界で認められたことを証明しなければならない。
問題
このうち解かれているのはポアンカレ予想のみ
ヤン=ミルズ方程式と質量ギャップ問題
任意のコンパクトな単純ゲージ群Gに対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が'R4上に存在し、質量ギャップΔ>0を持つことを証明せよ。
リーマン予想
リーマンゼータ関数ζ(s)の非自明な零点sは全て、実部が1/2の直線上に存在する。
P≠NP予想
計算複雑性理論（計算量理論）におけるクラスPとクラスNPが等しくない。
ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。
ポアンカレ予想
単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。
2003年にアメリカの数学者グレゴリー・ペルマン教授によって解決された。
ホッジ予想
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう。つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想(BSD予想)
楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。