ポアンカレ予想

ぽあんかれよそう

「単連結な三次元閉多様体は三次元球面S3に同相である」という予想

概要

とても難解なので次元を落とした例がよく使われる。

以下がポアンカレ予想を二次元平面で例えた例となる。

例えば円形の部屋があるとする。スタート地点にロープの端を固定し、反対側を持って部屋を一周する。そしてロープの両端を持ってたぐり寄せる。このときロープが地面から離れてはいけない。もちろんロープは手元に戻ってくる。

しかしこれが真ん中に柱があるドーナツ型の部屋だと、ロープが真ん中の柱に引っかかってしまいたぐり寄せることができない。

これは感覚的には当たり前のことだが、絶対にそうなるかを証明せよと言われると難しい。

次は二次元曲面で例えた例

球体の星があるとする。同様にロープを持って星を一周してたぐり寄せると手元に戻ってくる。

しかしドーナツ型の星だとたぐり寄せる際にロープが引っかかってしまったり地面から離れてしまったりする。

これも同様に絶対にそうなるかを証明せよと言われると難しい。

ポアンカレ予想はこれらを三次元曲面に置き換えた予想となる。

なお「ポアンカレ予想が証明されると宇宙の形がわかる」と誤解している人もいるが、ポアンカレ予想はあくまで「この方法を使えば宇宙の形がわかる」というものであって、ポアンカレ予想を証明しただけでは宇宙の形はわからない。