ポリトープ

ぽりとーぷ

二次元の多角形や、三次元の多面体といった概念を更に高次元へと拡張したもの。

概要

図形の概念のひとつであり、二次元の多角形、三次元の多面体を一般に拡張したものである。すなわち、多角形は二次元ポリトープ、多面体は三次元ポリトープと呼ばれる。

多胞体という和訳もあるが、普通「多胞体」と単独で言えば四次元ポリトープを示す場合が多い。

まとめると以下のようになっている。

正多角形や正多面体を同様に拡張する事も可能である。

これは普通に考えれば正ポリトープと呼ばれそうな所であるが、正多胞体と呼ばれる事が多く、正ポリトープという表現はなぜか未だあまり聞かない。

ここでは多胞体とポリトープを区別する立場に従い、正ポリトープという表現を用いる。

各次元における正ポリトープは以下のようになる。

正多面体を記述する際に用いられるシュレーフリ記号は、他の次元の正ポリトープへも応用される。線分の場合は{}、正n角形の場合は{n}、正多胞体の場合は「正多胞体」参照、そして点の場合は英語版Wikipediaによれば()となる。

一次元版は1種類しか無いが、一次元図形自体が線分だけなため、「正ポリトープの種類／ポリトープの種類」で考えると、正多角形の∞種よりも多くなる。

点の場合は、ファセット（多角形における辺、多面体における面に相当する要素）の解釈に困る点と、シュレーフリ記号による表現法が例外的な点により、正ポリトープに含めて良いかどうかは不安に思う所であるが、一応含まれているようである？

五次元以上における正ポリトープは3種しかないが、こられは正四面体、立方体、正八面体に相当するものである。これらはまとめて標準正多胞体（標準正ポリトープ？）と呼ばれており、各々は以下のように呼ばれている。

名称	零次元版	一次元版	二次元版	三次元版	四次元版	n次元版の頂点数
正単体(α体)	点	線分	正三角形	正四面体	正五胞体	n+1
正軸体(β体)	？	線分	正方形	正八面体	正十六胞体	2n
正測体(γ体/超立方体)	点	線分	正方形	立方体	正八胞体	2^n

ここで、我々は普段「正四面体・立方体・正八面体」という順番で覚えているため、立方体がβ、正八面体がγとなりそうに思える所であるが、逆である点に注意。

αの右下に小さい3を付けて正四面体を表したりする。

零次元の正軸体の解釈は不明。

正十二面体や正二十面体に相当する図形も四次元までなら有るため、それらの一般次元名もあれば少し便利そうだが不明。なおδ体に相当する表現は、n-1次元の正測体によるn次元空間充填形を表すものとして用いられている。

二次元版は星型多角形、三次元版は星型多面体となる。

四次元版は星型多胞体となりそうだが不明。