問題
任意の二次元平面上において、互いに平行な2本以上の直線が、一つ以上かつ無限未満の自然数個の交点を有する場合、その二次元平面は非ユークリッド的である。
概要
その歴史は非常に古く、もっとも古い記録では西暦700年から800年ごろに初期のイスラム教法学者らが、キブラの方角を正確に定める必要性に迫られた際に、地球の形状を詳細に予測する必要性に伴ってこの問題が浮上した記録が残っている。その後、主にアナトリアの錬金術師らによって解決が試みられたものの、失敗が続き、解決を試みた者が心労で倒れる事例が相次いだ。そのため、西洋の科学者の間では死神予想、未亡人問題（手を出した科学者の配偶者が未亡人になることから）の通称でおそれられた。
その後、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって、この問題はポアンカレ予想に付随する問題であるとみなされ、ポアンカレ予想の解決とともに自ずと解かれるものとされた。独立した問題としてはミレニアム懸賞問題からも外され、並行在来線問題を専門に研究する数学者は皆無となった。
しかし、実際にポアンカレ予想を解決したグレゴリー・ペルリマンは、数学ではなく物理学の手法を用いて解決したため、ポアンカレ予想の解決に伴って触れることが不可避と考えられていた並行在来線問題には一切触れなかった。そのため、並行在来線問題は再び独立した未解決問題として残ることとなってしまった。
