多面体

立体の一種で、頂点と直線と平面（真平ら）で構成されている。

正多面体、多角錐、多角柱、星型正多面体など、いろいろある。

曲面を持つもの（球、円錐、円柱、角球など）は含まないらしい。

最小の多面体は四面体であり、四つの頂点と四つの三角形から成る。

正多面体

正多角形の三次元版みたいな感じで、頂点の形状・辺部分の形状・構成面の形状が全て等しく、以下のような構成になっている。

多面体	頂点の数	辺の数	面の数	構成正多角形の角数	各頂点に入る辺の数	シュレ記号
正四面体	4	6	4	3	3	{3,3}
立方体	8	12	6	4	3	{4,3}
正八面体	6	12	8	3	4	{3,4}
正十二面体	20	30	12	5	3	{5,3}
正二十面体	12	30	20	3	5	{3,5}

面の数から見れば、正四面体⇒立方体⇒正八面体⇒正十二面体⇒正二十面体だが、角（頂点）の数から見れば、正四面体⇒正八面体⇒立方体⇒正二十面体⇒正十二面体である。

ここで、立方体⇔正八面体、正十二面体⇔正二十面体は、双対の関係にあり、一方の面の中点を取って、隣接する面の中点へ結ぶと、他方の立体になる。正四面体は自分自身が双対多面体である。

この方法は半正多面体には使えないが、半正多面体にも双対多面体はあり、カラタンの立体等と呼ばれる。

双対多面体においては、面の数と頂点の数、構成面の角数と頂点に入る辺の数とが入れ替わっている。

この辺については、グラフ理論とも密接な関わりがある。角柱の双対は双角錐で、角錐は自己双対となる。

立方体は、四角柱としての側面の他、反双三角錐（ねじれ双三角柱）としての側面もある。

同様に、正八面体には、双四角錐としての側面の他に、反三角柱としての側面を持つ。

更に、正十二面体は、反双五角錐の両極を切ったものという側面を、正二十面体は反五角柱の両底に五角錐を貼り付けたものという側面を持っている。

正四面体の各頂点を辺の中点まで切り込むと、正八面体になり、各面を適当に吊り上げると、立方体になる。正四面体の各面を適切にねじると、正二十面体になり、各頂点をねじると、正十二面体になる。