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幾何学

きかがく

数理科学の一分野で、図形について学ぶ学問分野。
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概要

図形空間の性質について論ずる学問である。
その性質上、イラストによる直感的な表現と結びつき易く、pixivにおいては理系のタグの中でも使用率が高め。
また、幾何学模様などのように、学問というよりは純粋にデザインを表現したイラストが多め。
英語はジオメトリー(Geometry)。

様々な種類が存在しており、二角形三面体が存在する球面幾何学や、正七角形以上でもタイリングが可能な双曲幾何学コーヒーカップドーナツを同一視する位相幾何学トポロジー)などがある。
対して、普通の幾何学はユークリッド幾何学と呼ばれる。
19世紀までは幾何学はユークリッド幾何学のみだったと言われ、現代でもユークリッド幾何学以外はその手の専門学科以外で習う機会はまず無い。

球面幾何学は楕円幾何学の一種とされ、楕円幾何学や双曲幾何学は非ユークリッド幾何学の一種とされるが、位相幾何学は図形に対するアプローチの違いという感じで、ユークリッド/非ユークリッドとはまた別枠的な扱いとされている。
位相幾何学はグラフ理論と密接。

ユークリッド・楕円・双曲の対比

非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学における「とある直線に平行で、かつとあるを通る直線が1つだけ存在する」という感じの公理を否定したもので、1つも存在しないとしたのが楕円幾何学、無数に存在するとしたのが双曲幾何学となっている。

この3つは、空間の曲率の違いによって並べて語る事もできる。
ここで言う曲率は、曲面ならガウス曲率と呼ばれる二次元的な曲率に対応しており、これは凸面でも凹面でもであるが、鞍部では平面および展開図にできるような曲面の場合は0となっている。
そしてユークリッド幾何学では曲率が常に0、楕円幾何学では常に正、双曲幾何学では常に負となっている。
円柱円錐は展開図にできるため、その曲面の上での幾何学は未だ未だユークリッド幾何学である。

楕円幾何学には代表として球面幾何学があり、これは二次元では文字通り球面上で表現され、球面は曲率が正で一定である(超球面上の場合も球面幾何学に入るのか、曲率が一定でなくても楕円幾何学に入るのか、曲率が一定の二次元の楕円幾何学は球面幾何学以外にあるのか、その辺については情報求む)。
双曲幾何学も通常は曲率が負で一定となっているが、同様な形での再現は難しい。
双曲面の内の一葉のものは、常に曲率負ではあるが、一定では無い。

曲率が負で一定である図形の代表としては、擬球と呼ばれるラッパのような形があるが、これは表現できる範囲が大分限られている。
双曲幾何学の世界は本来、ユークリッド幾何学と同様ににもにも無限に続いているはずだが、擬球の場合、縦についてはラッパの口の部分が途切れる事となり、横については円柱の側面のように有限の範囲をループさせたものとなっている。
縦に関しては、同じラッパを口同士で繋ぐという対策も用いられるが、接合部の曲率が定義できない。
双曲幾何学を漏れなく表現するには「ポアンカレの円板モデル」というものがよく用いられる。

楕円幾何学や双曲幾何学に対し、ユークリッド幾何学を放物幾何学と呼ぶ事もあるが、通常の放物面は曲率正であり、楕円幾何学の範疇(?)であるため注意(どの辺が放物なのかは情報求む)。
この名称は円錐曲線の3つと対応するものとなっている。

関連タグ

図形…主な図形のまとめ有り。

幾何/几何, 幾何学的, ジオメトリック, 幾何学模様, 几何体, 幾何学成形, 幾何学図形, 幾何学アート
立体, フラクタル, ベジェ曲線, 空間, 次元, ベクトル/ベクター, 座標, 角度
3DCG, 作図, デッサン, 数学, 物理学
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