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巨大数

きょだいすう

巨大な数を作る目的で定義された自然数である。故に、結果的に巨大とは呼べない大きさとなった自然数も巨大数である。また、ギネスブックに掲載された巨大な数として高名な「グラハム数」は “業務上過失巨大数” とも呼ばれる。
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概要


 巨大な数を作る目的で定義された自然数のこと。 例えば、この観測可能な宇宙のすべての原子を「0」であると理解して、整然と並べ、1000000・・・という列を作った際に、それでも書ききれないほどの数が存在する。 巨大な数とはまさにこのような数のことであって、この小さすぎる宇宙に住む我々にとって、本来知る必要のない数である。2019年において、巨大数はまだ学問とは認知されておらず、数学としても無意味な分野とされる。研究者もアマチュアが多い。とはいえ、巨大数を定義したり解析したりするには、公理的集合論という現代数学の花形が活躍することも事実である(その使い方が無意味なのだ)。日本においては2ちゃんねるでの議論を起源としている。しかし、サブカルチャーとしての注目度は高まっており、2017年には小林銅蟲先生の漫画『寿司虚空編』が書籍化され、2019年には青土社の現代思想12月号で『巨大数の世界』として大々的な特集が組まれた。一方で、大きな課題も抱えている。巨大数の解析に用いる主要な関数であり、順序数崩壊関数もどきのUNOCFが「well-defined」ではないことである。また、あくまで順序数崩壊関数もどきであり、決して順序数崩壊関数ではないということは、その停止性の保証もないということである。これでは、巨大数の物差しとしては価値がないということになる。最低でもトリオ数列数を近似可能な「well-defined」な順序数崩壊関数と、その順序数表記の開発が求められている。

計算可能関数で定義される代表的な巨大数



 第2回東方巨大数において巨大数大好きbotにより定義された。

グーゴル


 1920年に、ミルトン=シロッタという9歳の少年により定義された。10の100乗である。観測可能な直径930億光年の宇宙にある原子の数が10の80乗であることから、このグーゴルがいかに大きいかわかるだろう。ちなみに、検索エンジンの「Google」の元ネタはこのグーゴルである。

グーゴルプレックス


 1920年に、ミルトン=シロッタという9歳の少年により定義された。10のグーゴル乗である。十進数で表記すると「観測可能な直径930億光年の宇宙にある原子の数」では足りなくなってしまう。

トリトリ


 海外において熱狂的な支持者をもつ、BEAFの考案者ジョナサン=バウアーズによって定義された。クヌースのタワー表記で3↑↑↑3である。3↑↑3は7625597484987、3↑↑4は3の7625597484987乗、3↑↑5は3の3の7625597484987乗乗、3↑↑6は3の3の3の7625597484987乗乗乗という増大速度において3↑↑(3↑↑3)が3↑↑↑3である。

グラハム数


 1970年、ロナルド=グラハムがラムゼー理論に関連する解の上限値として定めた業務上過失巨大数だが、大きな数を広めようという意図でサイエンティフィック・アメリカンで一般に紹介された。観測可能な宇宙にあるすべての原子を使っても3↑...↑3と、クヌースのタワー表記で記述することはできない... というレベルですらなく、急増加関数が必要なほどの本数の↑が必要となる。急増加関数の解析による順序数はω+1である。

ふぃっしゅ数バージョン1


 2002年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。アッカーマン関数を基礎としたS変換と、S変換を繰り返すSS変換で構成される。急増加関数の解析による順序数はω^2+1である。これは、3→3→3→3でグラハム数を爆発的に凌駕してしまうコンウェイのチェーン表記ですら近似できない。

 瀬戸内にあるネギの養殖場 ふぃっしゅ数バージョン1を解説します。

ふぃっしゅ数バージョン2


 2002年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。ふぃっしゅ数バージョン1の拡張である。急増加関数の解析による順序数はω^3である。

ふぃっしゅ数バージョン3


 2002年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。SS変換の革新的な強化に行き詰まったふぃっしゅっしゅは、SS変換の方向性を取りやめて、新たに「関数から関数への写像」というシステムを構築した。急増加関数の解析による順序数はω^(ω+1)×63+1である。これは、Ack(3,0,0,3)でふぃっしゅ数バージョン1を爆発的に凌駕してしまう多変数アッカーマン関数ですら近似できない。

 瀬戸内にあるネギの養殖場 ふぃっしゅ数バージョン3を解説します。

ふぃっしゅ数バージョン5


 2003年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。ふぃっしゅ数バージョン3以降、アッカーマン関数は用いられていないが、SS変換の革新的な強化に成功した、ふぃっしゅ数シリーズの完成形といえる。急増加関数の解析による順序数はε_0+1である。これはペアノ公理でその整列性が証明可能な如何なる順序数(ω^ω^ω^ω^...)よりも強い。

 瀬戸内にあるネギの養殖場 ふぃっしゅ数バージョン5を解説します。

ふぃっしゅ数バージョン6


 2007年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。急増加関数の解析による順序数はφ(2,0)+1である。急増加関数で近似するにはヴェブレン関数が必要となる。

原始数列数


 2014年に、天才グーゴロジストとも称えられるバシクによって定義された。バシク行列システムの基礎である原始数列システムで定義される。急増加関数の解析による順序数はε_0+1である。バシクは「ふぃっしゅ数バージョン5」を参考に、原始数列システムからバシク行列システムまでをBASIC言語により定義した。また、2019年頃には、1行ながらにバシク行列システムを押さえ込む「Y数列」が、新進気鋭のグーゴロジストであるゆきとにより考案されている。この「Y数列」は様式的には原始数列システムの拡張である。

ペア数列数


 2014年に、天才グーゴロジストとも称えられるバシクによって定義された。原始数列システムを2行に拡張したペア数列システムで定義される。急増加関数の解析による順序数はϑ(Ω_ω)+1である。これは、バッハマン・ハワード順序数を超えて、竹内・フェファーマン・ブーフホルツの順序数に迫る強さである。急増加関数で近似するには順序数崩壊関数が必要となる。その停止性は、p進大好きbotによって証明された。

トリオ数列数


 2014年以降に、天才グーゴロジストとも称えられるバシクによって定義された。原始数列システムを3行に拡張したトリオ数列システムで定義される。急増加関数の解析による順序数は、その加速度に対応できる可算順序数が2019年の時点では不明であるが、PTO(ZFC)よりは弱いと予測される。また、停止性の証明もされていない。

バシク行列数


 2014年以降に、天才グーゴロジストとも称えられるバシクによって定義された。原始数列システムをn行に拡張したバシク行列システムにより定義される。急増加関数の解析による順序数は、その加速度に対応できる可算順序数が2019年の時点では不明であるが、PTO(ZFC)よりは弱いと予測される。また、停止性の証明もされていない。

 巨大数研究 Wiki バシク行列システム

巨大数屋敷数


 第3回東方巨大数においてp進大好きbotにより定義された。急増加関数による順序数はPTO(ZFC)+1である。これはZFC公理系でその整列性が証明可能な如何なる順序数よりも強い。

 巨大数研究 Wiki PTO(ZFC)を超えたFGH

計算不可能関数で定義される代表的な巨大数


ふぃっしゅ数バージョン4


 2003年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。ビジービーバー関数を用いるため、あらゆる計算可能関数より強い。急増加関数での近似には非再帰順序数であるチャーチ・クリーネ順序数が必要となる。

ラヨ数


 2007年に、アグスティン=ラヨによって定義された。グーゴル個以内の記号を使った一階述語論理の言葉で表現できるいかなる有限の正の整数よりも大きな最小の正の整数であると、二階述語論理の言葉で定義される。ビジービーバー関数は「グーゴル個以内の記号を使った一階述語論理の言葉」で定義可能であるので、これはビジービーバー関数よりも強い。

ふぃっしゅ数バージョン7


 2013年に、『巨大数論』の著者であるふぃっしゅっしゅによって定義された。神託機械によりラヨ数を拡張した。

巨大数庭園数


 第2回幻想巨大数においてp進大好きbotにより定義された。ラヨ数よりも大きなことが、下記のリンクに記されているが、ラヨ数が定義可能な集合論ではふぃっしゅ数バージョン7も定義可能であるため、巨大数庭園数はそれらよりも大きい。2019年の12月の時点では、世界最大の自然数の定義と推定される。

 巨大数研究 Wiki 高階集合論を超えた1階述語論理

巨大数よもやま話


世界がグラハム数人の村だったら


 もしも、世界がグラハム数人の村だったら...
 もしも、その村人の99%がたけのこ派だったら...
 つまり、その村人の約グラハム数人がたけのこ派だったら...
 次のことが云える。

 「きのこ派は約グラハム数人である」

 これが巨大数の力である。
 では、なぜこんなことになるのか...
 グラハム数はG関数を使って次のように現わされる。

 G^64(4)

 つまり...

 :
 G^63(4)
 G^64(4)
 G^65(4)
 :

 という増大率の中において、例えば指数関数をG^64(4)に適用したところで、G^64(4)はG^63(4)にもG^65(4)にもならないというわけである。これは、グラハム数のような巨大数を使わずとも、10^10^114、10^10^115、10^10^116、といった増大率の中でも言えることだったりする。

有限と無限とFGH


 巨大数は有限の自然数である。しかし、巨大数の研究には無限が必要不可欠な道具となっている。この無限に関する数学が集合論における「順序数」だ。実は、この「順序数」のうち、「可算順序数」は、急増加関数(FGH)で使うことが出来る。

 f 0 (n) = n+1
 f a (n) = f^n a-1 (n)

 急増加関数は、このようにシンプルな関数であり、その強さは「a」の値が有限値のときはアッカーマン関数と同等である。急増加関数は「a」の値に無限を代入することができる。しかし「ω」や「ω^2」といった極限順序数は「ω-1」「ω^2-1」に解が存在しない。そこで、極限順序数の場合は、その基本列のn番目の項を取るというのが、急増加関数の真骨頂となっている。つまり、基本列のない極限順序数よりも大きな順序数を代入してしまうと、そこで急増加関数はフリーズしてしまうということだ。具体的には、非可算順序数より大きな順序数は代入できない。ところが、急増加関数に代入する極めて巨大な可算順序数を定義する順序数崩壊関数では、この非可算順序数が登場する。証明論の分野においては、順序数崩壊関数において非可算順序数が使われることには価値があるらしいのだが、巨大数を作るという、順序数崩壊関数の間違った使い方においては、別に非可算順序数を使わずとも、例えば非再帰順序数(チャーチ・クリーネ順序数)でも良いらしい。

 巨大数研究 Wiki 順序数講座

 巨大数研究 Wiki OCFと順序数表記の関係

 巨大数研究 Wiki 極限順序数の一覧

巨大数入門


 巨大数についてもっと深く知りたいという方は、ふぃっしゅっしゅ著の『巨大数論』を読むとよいかもしれない。PDFが無料公開されている。書籍で欲しいという方には、アマゾンのペーパーバックで出版されている。

 巨大数論 第2版

 巨大数を作ってみたいという方は、計算可能関数の定義を「well-defined」に書くコツをp進大好きbotが記しているので読むとよいかもしれない。

 巨大数研究 Wiki 計算可能関数の定義の書き方

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