概要
正多角形の内、単独で平面充填が可能なものは、正三角形、正方形、正六角形の3種のみ。これらによる平面充填形を正平面充填形と言い、定義によっては正多面体の一種とみなされる。逆に正多面体は、球面幾何学上での平面充填と見る事ができる。
正三角形による平面充填と正六角形による平面充填は双対となっており、正方形による平面充填は自己双対である。
三角形や凸型四角形ならどんなものでも単独で平面充填可能。三角形による平面充填の双対として、向かい合う全ての辺が平行な凸型六角形による平面充填が考えられるが、この六角形は2つの同じ凸型四角形を組み合わせる事で再現できる。
五角形でも物によっては単独で平面充填が可能であり、15タイプ存在する。その14番目が1985年に発見されたのに対し、15番目は2015年に発見され話題となった。これ以上は無いとの事。
正多面体に対して正平面充填形があるように、半正多面体（アルキメデスの立体）に対して「アルキメデスの平面充填形」がある。これは複数の正多角形から構成され、全ての頂点形状が等しい平面充填形で、8種存在。
空間充填
単独で空間充填可能な図形は、正多面体では立方体のみ。
正四面体と正八面体は、単独では空間充填できないが、両方を組み合わせると空間充填可能。
半正多面体なら切頂八面体が、カタランの立体なら菱形十二面体が単独で空間充填可能。
切頂八面体による空間充填の双対は、とある三角錐による空間充填となり、菱形十二面体による空間充填の双対は、正四面体と正八面体による空間充填となる。
四次元なら、単独で空間充填可能な正多胞体は正八胞体と正十六胞体と正二十四胞体であり、正八胞体による空間充填は自己双対で、正十六胞体による空間充填と正二十四胞体による空間充填が双対となる。
五次元以上では、単独で空間充填可能な正ポリトープは正測体のみであり、正測体がγ体と呼ばれるのに対し、これによる空間充填形はδで表現される。
別名・類義
テセレーション 敷き詰め 敷き詰めてみた タイリング パターン ハニカム構造 ハニカム
関連タグ
模様 パズル 蜂の巣 方眼紙 マス目 網 タイル ペンローズ・タイル/ペンローズタイル
