正八面体

せいはちめんたい

正多面体の一つ。8枚の正三角形で構成される。

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目次[非表示]

概要

面	正三角形×8枚
辺	12本
頂点	正四角錐状×6個
シュレーフリ記号	{3, 4} = r{3, 3}
双対	立方体
直属の区分	正多面体、双四角錐、反三角柱、デルタ多面体、八面体、正軸体

正多面体の一種であり、英名はRegular octahedron（レギュラー・オクタヘドロン）。
ダイヤモンド等の結晶や『新世紀エヴァンゲリオン』のラミエルなどで馴染み深い。
双四角錐の一種としての側面が強調され易いが、反三角柱の一種としての側面も持っている。
デルタ多面体の一種ともされ、デルタ八面体とも呼ばれる。
正二十面体の特定の8面を広げて行くと現れ、また、特定の4面を広げて行くと正四面体ができる。

正四面体の各頂点を深く切る事（Rectify）でも作る事ができ、拡張シュレーフリ記号表記「r{3, 3}」はその事を意味している。
またこれによって、一辺の長さが同じ正四面体の4倍の体積を持っている事がわかる（これは、1つの正四面体が、辺の長さが半分の4つの正四面体と、それと同じ辺の長さの1つの正八面体とに分解される結果となってる事から導き出せる）。
単独での空間充填はできそうでできないが、正四面体と組み合わせた2種類でなら可能。
星型化すると星型八面体を生じる。

立方体に対して直方体や平行六面体があるように、正八面体にもそれらに対応するものが考えられるが名前は不明。
直方体に対応するものは、菱形を底面とした直錐による双錐、すなわち直双菱形錐と呼べそうな形となる。
平行六面体に対応するものは、平行四辺形を底面とした斜錐も含む錐体による双錐、すなわち双平行四辺形錐と呼べそうな形となる。
単に「八面体」と言うと、立方体の場合と同様、七角錐や六角柱も含まれて来てしまうので注意。

プラトンによる正多面体と四大元素との対応においては、正三角形で構成されたものの中では構成面の数が真ん中である事から、流動性を持つものの中では重さが真ん中であると考えられた風が当てられたとされる。

他次元版

立方体共々、正方形の三次元版と見なす事ができ、四次元版は正十六胞体となる。
同様に五次元以上版も存在し、まとめて正軸体（β体）と呼ばれる（ただし、正方形は正測体でもある）。
正八面体は三次元における正軸体であり、正軸体は正八面体や正十六胞体を一般次元に拡張したもののように表現される。

派生となる半正多面体等

操作の詳細は「半正多面体」を参照。立方体の場合とほぼ同じだが、切頂とZip、KisとNeedleが入れ替わっている。

操作	結果	操作	結果
Rectify	立方八面体	Join	菱形十二面体
切頂	切頂八面体	Kis	三方八面体
Zip	切頂立方体	Needle	四方立方体
Cantellate	斜方立方八面体	Ortho	凧形二十四面体
Bevel	切頂立方八面体	Meta	二重二方十二面体
Snub(互)	正二十面体	Gyro(互)	-
Snub(同)	変形立方八面体	Gyro(同)	五角二十四面体

正多面体	正四面体　立方体　正八面体　正十二面体　正二十面体
正多面体のRectify	正八面体　立方八面体　二十・十二面体
正軸体	正方形　正八面体　正十六胞体