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半正多面体

はんせいためんたい

正多角形で構成された全ての頂点形状が等しい凸多面体。
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概要

正多面体を半分にぶった切ったもの…ではなく、正多面体の条件から「全ての面が同じ」という点を除く事で作られる多面体アルキメデスの立体とも言う。紀元前から知られており、以下の13種(鏡像を含めれば15種)がある。

名称頂数辺数面数面形頂形双対備考
立方八面体1224143(正三角形)と4(正方形)4菱形十二面体準正多面体立方体正八面体というイメージ。頂点と中心の間の距離=辺の長さとなっている。別名:異相双三角台塔ベクトル平衡体
二十・十二面体3060323(正三角形)と5(正五角形)4菱形三十面体準正多面体。正十二面体正二十面体というイメージ。別名:異相双五角丸塔二十面十二面体
斜方立方八面体2448263(正三角形)と4(正方形)4凧形二十四面体立方八面体+菱形十二面体というイメージ。別名:菱形立方八面体小菱形立方八面体切頂菱形十二面体同相双四角台塔柱
斜方二十・十二面体60120623(正三角形)と4(正方形)と5(正五角形)4凧形六十面体中ボス。二十・十二面体+菱形三十面体というイメージ。別名:菱形二十・十二面体小菱形二十・十二面体切頂菱形三十面体
切頂四面体121883(正三角形)と6(正六角形)3三方四面体「切頂」自体の別名:切頭、切隅
切頂立方体2436143(正三角形)と8(正八角形)3三方八面体別名:切頂六面体
切頂八面体2436144(正方形)と6(正六角形)3四方立方体単独で空間充填可能。
切頂十二面体6090323(正三角形)と10(正十角形)3三方二十面体
切頂二十面体6090325(正五角形)と6(正六角形)3五方十二面体サッカーボールの形として馴染み深い。
切頂立方八面体4872264(正方形)と6(正六角形)と8(正八角形)3二重二方十二面体文字通りの切頂では作れない。別名:斜方切頂立方八面体大菱形立方八面体
切頂二十・十二面体120180624(正方形)と6(正六角形)と10(正十角形)3二重二方三十面体表ボス。文字通りの切頂では作れない。別名:斜方切頂二十・十二体大菱形二十・十二面体
変形立方八面体2460383(正三角形)と4(正方形)5五角二十四面体鏡像の別有り。別名:変形立方体ねじれ立方体など
変形二十・十二面体60150923(正三角形)と5(正五角形)5五角六十面体裏ボス。鏡像の別有り。別名:変形十二面体ねじれ十二面体など

この「準正→斜方→切頂→切頂準正→変形」という並びは特に正式のものでは無く、覚え易さ的にお勧めの並びである。正式な並びは不明。
semi-regular polyhedronの訳とされるが、semi-regular polyhedronと言うと凸型でないものも含まれてる様子があるので、英語の上ではArchimedean solid(アルキメデスの立体)と言った方が恐らく無難(詳細は「正多面体」で)。
長方形菱形正方形も含むとされるが、半正多面体は正多面体は含まない様子。

正多面体の次に美しい多面体として名高いが、面周りが合同でないため、サイコロにしようとすると出る目の確率に偏りが出てしまう。
双対はカタランの立体で、こちらはサイコロに向いている。
平面充填形バージョンは「アルキメデスの平面充填形」と呼ばれ、8種存在。

名称について

斜方立方八面体などの「斜方」は「菱形」の別訳である。直訳としては「菱形立方八面体」となるが、この「菱形~」という部分は、菱形十二面体や菱形三十面体の要素を組み込んでいるという意味と解釈できる。つまり、立方体と正八面体で立方八面体となるのと同様、立方八面体と菱形十二面体で菱形立方八面体というわけである。

切頂立方八面体と切頂二十・十二面体は、日本語では斜方が付けられる事が多いが、意味は特に無さげ。後述の拡張シュレーフリ記号では切頂にあたる記号だけで済ませており、英語でも切頂に当たる語だけ付ける方が一般的の模様。これに斜方を付ける事は、恐らく切頂立方体を八面切頂立方体と呼ぶようなものである。

切頂八面体などは、文字通りに解釈してしまうと切頂七角錐や切頂六角柱も含んでしまうため、切頂正八面体と呼んだ方が意味的には正確そうであるが、名前としてはなぜか正を含めないのが一般的な模様。双対の方や立方八面体などに対しては正を入れる名前が見当たらない事もあり、ここではひとまず最も一般的な名前を用いている。

変形立方八面体と変形立方体が別名同士というのは混乱を招く話であるが、これは英語の時点から引きずられている問題である。「変形」「ねじれ」という表現は共に、半正多面体以外の多面体に対しても用いられているが、意味合いの統一性は乏しい。

準正多面体

立方八面体と二十・十二面体は、準正多面体にも分類されている。
準正多面体は辺周りが合同という性質を持ち、この2種のみ(尤も、半正多面体に凸型以外を含む立場ではこの限りでは無い)。
半正多面体の中で切頂版が存在するのもこの2種のみであるが、正多面体の切頂版とは異なり、文字通りに頂点を切ると切り口が長方形になってしまう点には注意が要る。
半正多面体は今の所、正多面体は含まないようだが、準正多面体は含むようである。

半正多面体の性質を満たす他の立体

ミラーの立体擬斜方立方八面体)」と「アルキメデスの角柱」(以下単に角柱)と「アルキメデスの反角柱」(以下単に反角柱)も半正多面体の条件を満たすが、一般的にはこれに含めない。

これについて、角柱と反角柱は無限種があるからという理由で省かれる事があるが、ミラーの立体は1つしか無いにも関わらず省かれている。
実はミラーの立体は、全ての頂点形状が合同ではあるが、周辺の頂点まで視野に入れると合同ではないため、角柱と反角柱以上に半正多面体に遠い。
例えば、半正多面体の頂点のどれか一つに目印を付けた場合、どの頂点に付けても結果は変わらないし、この性質は角柱と反角柱も持っているが、ミラーの立体は2通りの結果を産む。

ミラーの立体はジョンソンの立体に分類され、37というナンバーも振られている。

半正多面体同士の関係&カタランの立体同士の関係

正四面体→半正多面体等の曼荼羅的な


頂点を切る

正四面体 ⇒ 切頂四面体 ⇒ 正八面体
立方体 ⇒ 切頂立方体 ⇒ 立方八面体
正八面体 ⇒ 切頂八面体 ⇒ 立方八面体(上に同じ)
正十二面体 ⇒ 切頂十二面体 ⇒ 二十・十二面体
正二十面体 ⇒ 切頂二十面体 ⇒ 二十・十二面体(上に同じ)
立方八面体 ⇒ 切頂立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体
二十・十二面体 ⇒ 切頂二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体

面をねじる

■同方向
正四面体 ⇒ 正二十面体 ⇒ 正八面体
立方体、正八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 立方八面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 二十・十二面体

■隣接するもの同士で逆方向
正八面体 ⇒ 正二十面体 ⇒ 立方八面体
立方八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体
二十・十二面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体

面の中心を吊る

正四面体 ⇒ 三方四面体 ⇒ 立方体
立方体 ⇒ 四方立方体 ⇒ 菱形十二面体
正八面体 ⇒ 三方八面体 ⇒ 菱形十二面体(上に同じ)
正十二面体 ⇒ 五方十二面体 ⇒ 菱形三十面体
正二十面体 ⇒ 三方二十面体 ⇒ 菱形三十面体(上に同じ)
菱形十二面体 ⇒ 二重二方十二面体 ⇒ 凧形二十四面体
菱形三十面体 ⇒ 二重二方三十面体 ⇒ 凧形六十面体

頂点をねじる

■同方向
正四面体 ⇒ 正十二面体 ⇒ 立方体
立方体、正八面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 菱形十二面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 菱形三十面体

■隣接するもの同士で逆方向
立方体 ⇒ 正十二面体 ⇒ 菱形十二面体
菱形十二面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 凧形二十四面体
菱形三十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 凧形六十面体

拡張シュレーフリ記号

半正多面体を表す記号として、ワイソフ記号やコクセター・ディンキン図形がある。それらに関する解説は玄人に任せておくとして(外部リンク参照)、もう少し取っ付き易いものとして、正多面体を記述する時に使ったシュレーフリ記号を元にした「拡張シュレーフリ記号」というものもある。これに基けば、半正多面体などは以下のように表現できるとされる。

多面体拡張シュレーフリ記号
立方八面体4と3を縦に並べて{}で括った形。
二十・十二面体5と3を縦に並べて{}で括った形。
切頂~t(truncated)を付ける。例えば切頂四面体ならt{3,3}。
斜方~r(rectification)を付ける。
変形~s(snub)を付ける(変形立方体ではなく変形立方八面体で解釈)。
アルキメデスのn角柱t{2,n}
アルキメデスの反n角柱2とnを縦に並べて{}で括ってsを付ける。

ここで、立方八面体→斜方立方八面体という操作が「r」で表されているが、この操作は「双対多面体の面を組み込む」(または「深い切頂」)という感じで解釈できる。同様の操作を正四面体に対して行うと正八面体に、正八面体に対して行うと立方八面体になる。そのため、立方八面体はr{3,4}あるいはrr{3,3}とも表現できそうであり、実際に英語版Wikipediaではそういう表記も記述されている。これを利用すれば、正多面体と半正多面体の殆どが{3,3}にt、r、sの組み合わせを付けた形で以下のように表現できる。

多面体拡張シュレーフリ記号
正八面体{3,4}=r{3,3}
正二十面体{3,5}=sr{3,3}
立方八面体r{4,3}=rr{3,3}
二十・十二面体r{5,3}=rsr{3,3}
アルキメデスの反n角柱sr{2,n}

rを2回行う操作は特にCantellationまたはExpansionと呼ばれている。和訳は不明。前者は普通に見ればカンテラ(Cantera)が語源と思われる所だが、はっきりした情報が見当たらない。カンテラならば、提灯化や行灯化とでも訳せそうである。

アルキメデスの反n角柱をsr{2,n}と表現する方法は、グラフ理論的に考えると一部の線が二重になってしまうという問題を抱えているが、これをスルーするならば、アルキメデスのn角柱はrr{2,n}とも解釈できる。この解釈に基づくと、以下の対応関係が考えられる。

角柱反角柱双角錐反双角錐
立方八面体正二十面体菱形十二面体正十二面体
斜方立方八面体変形立方八面体凧形二十四面体五角二十四面体
斜方二十・十二面体変形二十・十二面体凧形六十面体五角六十面体

更なる拡張

拡張シュレーフリ記号の範囲では、正多面体と半正多面体の内、立方体と正十二面体、およびそれらの切頂版のみ、{3,3}を用いて記述する方法が見当たらない。中途半端に感じる所ではないかと思うが、仮に正四面体→立方体、正四面体→正十二面体となるような記号を作ると、半正多面体を網羅できると同時に、○方系を除くカタランの立体までをも記述できるようになる。後は正四面体→三方四面体の記号を作れば、カタランの立体も全て網羅できる。

実際、似た記号を用いる方法にConway polyhedron notation(コンウェイ多面体表記法?)というものがあり、こちらはrの代わりにa(ambo)を用い、正四面体→立方体をj(join)、正四面体→正十二面体をg(gyro)、○方をk(kis)としている模様。更にこれらを組み合わせたaa(立方体→斜方立方八面体など)をe(expand)、jj(立方体→凧形二十四面体など)をo(ortho)、ta(立方体→切頂立方八面体など)をb(bevel)、kj(立方体→二重二方十二面体など)をm(meta/medial)と呼んでいる。

関連イラスト

Excelグラフで多面体を描いてみた



関連動画



関連タグ

結晶 サッカーボール フラーレン ビーズ 折り紙 ブロック ゾムツール
カタランの立体 正多面体 ジョンソンの立体 角柱 反角柱 正多角形 平面充填
一様多面体 多面体 立体 図形 三次元 幾何学 数学

関連外部リンク

半正多面体 - Wikipedia
自分で自分の首を絞めた話~準正多面体と半正多面体~ - ジャパン・ゾム・クラブ
コクセター・ディンキン図形 - pattern'F'
Conway polyhedron notation - 英語版Wikipedia

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