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多面体

ためんたい

平面で囲まれた立体。
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概要

立体の一種で、頂点と直線平面(真平ら)で構成されている。
円柱のような曲面を持つ立体は含まないとされる(他にも条件が付く場合も有り)。
最小の多面体は四面体三角錐)であり、つの頂点と四つの三角形から成る。

多角形三次元版であるが、多角形は頂点の数との数が常に等しい(n角形=n辺形である)のに対し、多面体の場合は頂点の数、の数、そして辺の数がだいたいバラバラである。例え頂点・面・辺の数が全て等しくとも、全く違う構造となる事がある。
四次元版は多胞体と言い、多角形、多面体などもまとめてポリトープと言う。多面体は三次元ポリトープである。

カタカナ語でポリゴンと呼ばれる事が多いが、ポリゴン(polygon)は本来は多角形の事であり、多面体はポリヘドロン(polyhedron、複数形はpolyhedra)。

主な多面体

※定義や名称に揺れが多いため、ネットの情報や特定の書籍の情報を過信しないよう注意。

正多面体プラトンの立体

正多角形三次元版であり、1種類の正多角形で構成され、全ての頂点の形も等しく凸型(凹んでる部分や交差が無い)。
正多角形が無限種存在するのに対し、こちらは正四面体立方体正六面体)、正八面体正十二面体正二十面体の5種しか無い。
この内、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体は双対関係(後述)を成している。

星型多面体

三次元版の星型多角形。多面体の辺や面を伸ばして得られる多面体であり、星型正多面体星型八面体もこれに含まれる。
星型正多面体は、正多面体の凸型でない版でもあり、小星型十二面体大星型十二面体大十二面体大二十面体の全4種。
星型八面体は2つの正四面体に分解できるため、星型多面体ではあっても星型正多面体には含まないとされる。

角錐角柱

角錐は多角形による錐体、角柱は多角形による柱体であり、共にどんな多角形に対しても考える事ができる。同様の性質を持つ主な多面体は他に、双角錐反角柱ねじれ角柱)、反双角錐ねじれ双角錐)、角錐台がある。ただ、反角柱と反双角錐については、正多角形以外を底面とした場合の定義が見当たらない。この内、角柱と双角錐、反角柱と反双角錐が双対で、角錐は自己双対。
直方体平行六面体は角柱の一種である。また、正四面体は角錐の一種であり、立方体は角柱の一種であると同時に反双角錐の一種、正八面体は双角錐の一種であると同時に反角柱の一種である。
双角錐と反双角錐はサイコロに向く(底面が正多角形で傾いていない場合)。特に後者は10面ダイスで有名かもしれない。
角柱と反角柱の内、底面も側面も全て正多角形のものを「アルキメデスの角柱」「アルキメデスの反角柱」と言う。

半正多面体アルキメデスの立体

正多面体の、正多角形を複数種類使ったバージョン。全13種。
サッカーボールの形としてよく見られる切頂二十面体もこの一種。
ミラーの立体とアルキメデスの角柱&反角柱も条件は満たすが、一般的には含まれない様子。
準正多面体と呼ばれる事もあるが、これは本来は半正多面体のサブグループであり、別名では無いとの事。

カタランの立体

半正多面体の双対であり、半正多面体と同様全13種。
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、長さ比や角度もちゃんと一つに決まる。
全ての面が対等なのでサイコロ向き。120面まである。
ガーネット結晶の形として知られる菱形十二面体凧形二十四面体もこの一種。

一様多面体

正多面体、星型正多面体、半正多面体、および半正多面体の凸型でない版の総称的なもの。
日本語版Wikipediaによれば、大二重変形二重斜方十二面体なるものは含めないとされているが、英語版では含めるっぽい。

ジョンソンの立体

正多角形で構成されている凸多面体(凸型の多面体)の内、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱&反角柱を除いたもの。ミラーの立体を含んで全92種。
「正多角形で構成されている凸多面体」をまとめて整凸面多面体あるいは整凸多面体と呼ぶそうだが、なぜ正でなく整なのか、なぜ凸の後に面が入るのかという説明は見当たらない。
また、各立体の名前は構成面が正多角形のみなのかそうでないのかが曖昧なものが多い。

デルタ多面体

正三角形のみで出来ている凸多面体。正多面体の内の3種とジョンソンの立体の内の5種を合わせて全8種。デルタ十二面体変形双五角錐)が意外な曲者

菱形多面体

この呼び方は、検索候補には挙がるが正式名称としては見当たらない。ここでは「菱形のみで構成される多面体」と解釈して記述する。
この内、1種類の菱形のみで構成される凸多面体は、無数の菱形六面体(平行六面体の一種)の他にも4種類存在し、等面菱形多面体と呼ばれる。その内2つはカタランの立体である菱形十二面体と菱形三十面体であり、残りの2つは菱形三十面体を解体する事で現れる菱形十二面体第2種菱形二十面体である。
他にも、凹凸のある形である菱形六十面体や、2種類の菱形で構成されている菱形九十面体がちょっと有名。
この場合の「菱形~」は「りょうけい~」とされている例がネット上では多く見られるが、「ひしがた~」としている書籍も無きしも非ずである模様であり、一方で凧形二十四面体などは普通に「たこがた~」とされており、どちらが正しいか未だはっきりしない部分もある。

ダ・ヴィンチの星

正多面体に側面が正三角形の角錐をくっつけた形。

複合多面体

星型八面体のように、複数の多面体をハチソン効果みたいな感じで複合させた形。
Polyhedronの日記(外部リンク)によれば、これは多面体には含まれない。この場合、星型多面体もまた多面体の一種とは言えなくなる。
また日本語版Wikipediaでは、複合するのは同じ多面体同士である必要があり、違う多面体同士の場合は「複合体」としている。なぜ同じでなくなったら多面でなくなるのかは不明。
似た言葉に「相貫体」もあるが、多面体以外を含む立体同士の複合を意味する事もあれば、双対多面体同士を特殊な形で複合させたものを意味する事もある。

ゾーン多面体

向かい合う面同士の対応する辺同士が平行な多面体とされ、平行六面体や正六角柱、等面菱形多面体、および半正多面体の内の偶数角形のみで構成されているタイプなどがこれに該当するとされる。
例に挙げられているものは皆、向かい合う面同士が平行移動で一致するような凸多面体となっているが、定義によれば、向かい合う面同士が合同である必要はなく、向かい合う辺が平行なあらゆる偶数角形(六角形以上の場合、向かい合う辺の長さが等しくなるとは限らない)を底面とした角柱や、切頂八面体などの切り込みの深さが異なるバージョンも該当する事になる(恐らく定義の方に不備がある?)。
多面体の区分の代表としてよく挙げられるものの、この区分けにどのような意義があるのかは情報求む。

双対関係

立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になり、正八面体の各面の中心を結ぶと立方体に戻る。このように立方体と正八面体は表と裏陰と陽のような、「まさに双対!」という関係にある。本当に双対関係と言う。英語ではデュアル(dual)。
同様の関係は正十二面体と正二十面体の間にもある。正四面体の場合は自分自身が双対であり、こういう性質を自己双対と言う。
ちなみに各辺の中心を結んだ場合は、正四面体は正八面体となるが、他は準正多面体となる。

半正多面体とカタランの立体も双対関係にあるが、同様の操作では得られない。正多面体の場合は特に特殊な事例であり、バイセクシャル同士のカップルのようなものである。

双対多面体においては、面の数と頂点の数、構成面の角数と頂点に入る辺の数とが入れ替わっており、辺の数は同じである。この辺りはグラフ理論電気回路にも密接に関わっており、これらにも同様の双対の概念が存在している。電気回路の場合、双対となる回路ではコンデンサコイル、電圧源⇔電流源といった反転も起こる。
ただ、グラフ理論や電気回路の場合は長さや角度の概念が無いのに対し、多面体の場合は一般的に、長さや角度なども考慮せねばならない。ジョンソンの立体のように対称性が乏しいものになって来ると、それが困難になるためか、双対多面体の存在は語られなくなって来る。

どちらがでどちらがなのかは各自の考察に委ねる。

関連イラスト

ビーズで多面体など
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【フリー素材】卓上立体POP型紙
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関連タグ

正多面体 星型多面体 星型正多面体 半正多面体 カタランの立体 一様多面体
ジョンソンの立体 デルタ多面体 ダ・ヴィンチの星 複合多面体 ゾーン多面体
菱形多面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形六十面体 菱形九十面体
角錐 角柱 双角錐 反角柱 反双角錐 角錐台 直方体 平行六面体
四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 九面体 十面体

ダイス サイコロ ポリゴン 3DCG 折り紙 ビーズ
宝石 結晶 鉱物 鉱石
立体 図形 三次元 幾何学 数学

ポリトープ

多角形 多面体 多胞体

関連外部リンク

多面体 - Wikipedia
積み木インテリアギャラリー
Polyhedronの日記
ちゃーりーの多面体ページ
George W. Hart
the polyhedra world
Gratrix.net - Polyhedra Home

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