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多面体

ためんたい

平面で囲まれた立体。
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概要

立体の一種で、頂点と直線平面(真平ら)で構成されている。
円柱のような曲面を持つ立体は含まないとされる(他にも条件が付く場合も有り)。
最小の多面体は四面体三角錐)であり、4つの頂点と4つの三角形から成る。

多角形三次元版であるが、多角形は頂点の数との数が常に等しいため「n角形=n辺形」であるのに対し、多面体の場合は頂点の数、の数、そして辺の数がだいたいバラバラ。例え頂点・面・辺の数が全て等しくとも、全く違う構造となる事さえある。
四次元版は多胞体と言い、多角形、多面体などもまとめてポリトープと言う。多面体は三次元におけるポリトープである。

英語ではポリヘドロン(Polyhedron、複数形はPolyhedra)。
3DCGにおける同様のものはポリゴン(Polygon)と呼ばれがちだが、ポリゴンは多角形の事であり、3DCGを表現するためのパーツを意味している。

多面体における「辺」の類義には「」が存在し、そう言った場合には、辺の両脇の面が成している(二面角)を含んだ意味合いが強めになる。
稜は一方で、ポリトープにおけるn-2次元要素を意味する事もある。

主な多面体

※定義や名称に揺れが多いため、ネットの情報や特定の書籍の情報を過信しないよう注意。

正多面体プラトンの立体

正多角形三次元版。
正多角形が無限種存在するのに対し、こちらは正四面体立方体正六面体)、正八面体正十二面体正二十面体の5種しか無い。
この内、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体は双対関係(後述)を成している。

星型多面体

星型多角形の三次元版であるが、星型多角形と同様、厳密な定義は曖昧。
星型正多面体(全4種)や星型八面体もこれに含まれる。

凸多面体

凸多角形の三次元版であり、凹んでる部分や交差の無い多面体。
このような性質を持つ事は「凸型である」と言われる。

角錐角柱

角錐は多角形による錐体、角柱は多角形による柱体であり、共にどんな多角形に対しても考える事ができる。
同様の性質を持つ主な多面体は他に、双角錐反角柱ねじれ角柱)、反双角錐ねじれ双角錐)、角錐台があり、この内、角柱と双角錐、反角柱と反双角錐が双対で、角錐は自己双対。
ただ、反角柱と反双角錐については、正多角形以外を底面とした場合の定義が見当たらない。

立方体と並んで有名な直方体は、平行六面体もろとも角柱の一種と見なす事ができる。
定義によっては反双角錐の一種と見る事もできる。
立方体は直方体の一種でもあるため、角柱や反双角錐の一種でもあるという事になる。
他の正多面体にもこの辺の図形との深い関係が存在し、正四面体なら角錐の一種、正八面体なら双角錐の一種であると同時に反角柱の一種となっている。

双角錐と反双角錐は、底面が正多角形で傾いていない場合はサイコロに向き、特に後者は10面ダイスでやや有名。
角柱と反角柱の内、底面も側面も全て正多角形のものを「アルキメデスの角柱」「アルキメデスの反角柱」と言う。

半正多面体アルキメデスの立体

正多面体の、正多角形を複数種類使ったバージョン。全13種。
サッカーボールの形としてよく見られる切頂二十面体もこの一種。
ミラーの立体とアルキメデスの角柱&反角柱も条件は満たすが、一般的には含まれない様子。
準正多面体と呼ばれる事もあるが、これは本来は半正多面体のサブグループであり、別名では無いとの事。

カタランの立体

半正多面体の双対であり、半正多面体と同様全13種。
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、長さ比や角度もちゃんと一つに決まる。
全ての面が対等なのでサイコロ向き。120面まである。
ガーネット結晶の形として知られる菱形十二面体凧形二十四面体もこの一種。

一様多面体

正多面体、星型正多面体、半正多面体、および半正多面体の凸型でない版の総称的なものであり、全75種。
変性的なものとして大二重変形二重斜方十二面体なるものも存在。

ジョンソンの立体

正多角形のみで構成されている凸多面体の内、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱&反角柱を除いたものであり、全92種。ミラーの立体はこちらに属している。
ザルガラーの多面体とも呼ばれる。
ジョンソンの立体に属す個々の立体にも名前は付いているものの、その名が必ずしもジョンソンの立体としてのそれを示しているのか否かは曖昧である。例えば、ジョンソンの立体のNo.1は単に四角錐とも呼ばれるが、もちろん四角錐と言えば通常、ジョンソンの立体の条件を満たしている必要は全く無い。ジョンソンの立体である事を明確にする際には、Jの右下に小さくナンバーを添えた記号が用いられている。

「正多角形のみで構成されている凸多面体」の呼び名としては、整凸面多面体と整凸多面体が見当たるが、「整」も「凸面」も類の見られない表現であり、その辺についての詳しい説明が見当たらない。
英語はregular-faced convex polyhedronとされ、これは「正面凸多面体」といった意味合いとなっている。
整凸多面体については「座標の値が整数である凸多面体」という意味でも用いられており、こちらはintegral convex polyhedronの訳となっている。

デルタ多面体

正三角形のみで出来ている凸多面体。正多面体の内の3種とジョンソンの立体の内の5種を合わせて全8種。デルタ十二面体変形双五角錐)が意外な曲者

菱形多面体

この呼び方は、検索候補には挙がるものの正式名称としては見当たらない。ここでは「菱形のみで構成される多面体」と解釈して記述する。

この内、1種類の菱形のみで構成される凸多面体は、無数の菱形六面体(平行六面体の一種)の他にも4種類存在し、等面菱形多面体と呼ばれる。
その内2種はカタランの立体である菱形十二面体と菱形三十面体であり、残り2種は菱形三十面体を解体する事で現れる菱形十二面体第2種菱形二十面体である。
他にも、凹凸のある形である菱形六十面体や、2種類の菱形で構成されている菱形九十面体がちょっと有名。

この場合の「菱形~」は「りょうけい~」とされている例がネット上では多く見られるが、「ひしがた~」としている書籍も無きしも非ずとの事であり、一方で凧形二十四面体などは普通に「たこがた~」とされており、どちらが正しいか未だはっきりしない部分もある。

ダ・ヴィンチの星

正多面体の各面に、側面が正三角形の角錐をくっつけた形。

複合多面体

星型八面体のように、複数の多面体をハチソン効果みたいな感じで複合させた形。
Polyhedronの日記(外部リンク)によれば、これは多面体には含まれない。その場合、星型多面体もまた多面体の一種とは言えなくなる。
また日本語版Wikipediaでは、複合するのは同じ多面体同士である必要があり、違う多面体同士の場合は「複合体」としている。なぜ同じでなくなったら多面でなくなるのかは不明。
似た言葉に「相貫体」もあるが、多面体以外を含む立体同士の複合を意味する事もあれば、双対多面体同士を特殊な形で複合させたものを意味する事もある。

ゾーン多面体

向かい合う面同士の対応する辺同士が平行な多面体とされ、平行六面体や正六角柱、等面菱形多面体、および半正多面体の内の偶数角形のみで構成されているタイプなどがこれに該当するとされる。
例に挙げられているものは皆、向かい合う面同士が平行移動で一致するような凸多面体となっているが、定義によれば、向かい合う面同士が合同である必要はなく、向かい合う辺が平行なあらゆる偶数角形(六角形以上の場合、向かい合う辺の長さが等しくなるとは限らない)を底面とした角柱や、切頂八面体などの切り込みの深さが異なるバージョンも該当する事になる(恐らく定義の方に不備がある?)。
多面体の区分の代表としてよく挙げられるものの、この区分けにどのような意義があるのかは情報求む。

面の数による分類

多角形と同様、多面体にも五面体八面体のような分類の仕方も存在しているが、先述のように面の数は多面体の一要素に過ぎないため、多角形の場合とは異なり、このような分類の意義は薄め。
八面体と言った場合には、正八面体の略という意味合いとなる事もままある。
頂点の数や辺の数による分類も可能であるが、名称は不明。

双対関係

立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になり、正八面体の各面の中心を結ぶと立方体に戻る。このように立方体と正八面体は表と裏陰と陽のような、「まさに双対!」という関係にある。本当に双対関係と言い、片方を片方の双対多面体と言う。英語ではデュアル(Dual)。
同様の関係は正十二面体と正二十面体の間にもある。正四面体の場合は自分自身が双対であり、こういう性質を自己双対と言う。
ただし、これ程綺麗な関係は双対関係の中でも特殊なものであり、通常はこのような簡単な方法では双対多面体は得られない。あくまで最も解り易い例である事は留意されたい。

双対多面体においては、面の数と頂点の数、構成面の角数と頂点に入る辺の数とが入れ替わっており、辺の数は同じである。この辺りはグラフ理論電気回路にも密接に関わっており、これらにも同様の双対の概念が存在している。電気回路の場合、双対となる回路では、抵抗の値が逆数となる他、コンデンサコイル、電圧源⇔電流源といった反転も起こる。
ただ、グラフ理論や電気回路の場合は長さや角度の概念が無いのに対し、多面体の場合は一般的に、長さや角度なども考慮せねばならない。ジョンソンの立体のように対称性が乏しいものになって来ると、それが困難になるためか、双対多面体の存在は語られなくなって来る。

陰陽説の時代には知られていなかったためか、どちらがでどちらがなのかの定まった見解は今の所見られない。

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