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反双角錐

はんそうかくすい

双角錐の片側をねじった多面体。ねじれ双角錐。
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概要

多面体の一種であり、双角錐における片方の角錐をねじったような形である。
ねじれ双角錐」という呼称がメジャー。
言葉だけ聞いても解り辛いが、一般的な10面ダイスの形はこの一種である。
偶数枚の四角形で構成され、反双n角錐ならば2n+2個の頂点と2n枚の面、4n本の辺を持つ。
双対は反角柱ねじれ角柱)。

反双二角錐には(通常の幾何学においては)三角錐が相当する。
構成面が三角形となるが、これは四角形の一つの角が180°となった結果である。

種類

正反双角錐

底面が正多角形のものは特に正反双角錐(正ねじれ双角錐)と呼ばれるが、そもそも正多角形以外が底面の場合の定義は不明。
斜錐のように傾いていてよいかどうかは不明だが、ここでは傾いてないものとして記述する。
構成面はこの場合凧形となる。
特に正反双三角錐の場合は菱形となり、菱形六面体あるいは菱面体と呼ばれる。

立方体は実はこの菱形六面体の一種でもあり、引いては反双角錐の一種でもある。
正十二面体は、正反双五角錐の両方の頭頂点を切ったものの一種である。
正四面体は、正反双二角錐に相当するものの一種となっている。

10面ダイスの場合は正反双五角錐となっており、他にも目の類が偶数のサイコロに用いる事ができる。
ただ、双角錐とは逆に、目の数が単偶数(4で割り切れない偶数)の時は振った際に面が上を向くが、複偶数の時は辺が上を向いてしまい、少々不便となる。
つまり、単偶数の時は反双角錐が、複偶数の時は双角錐が適任。

カタランの反双角錐?

半正多面体の性質を満たす反角柱(アルキメデスの反角柱)が無数に存在するのに対し、カタランの立体の性質を満たす反双角錐も無数に存在する。
呼び名は不明だが、「アルキメデスの立体の性質を持った角柱だからアルキメデスの反角柱」という解釈をすれば、こちらは「カタランの反双角錐」と呼べる。
ただ、角数が増えると大分長細くなるため、サイコロとしては普通の正反双角錐の方が向く。
一様多面体にアルキメデスの反角柱を含める場合、一様多面体の双対にはこれも含まれる事となる。

交差反双角錐?

反角柱には、側面が中心軸をまたぐバージョンである交差反角柱というものも存在しているが、これに対して交差反双角錐と呼べるものも存在しており、こちらは面の形が凹型の凧形(矢尻のような形)となっている。
交差反角柱の場合と同様、交差反双n/m角錐は反双n/(n-m)角錐に相当している。

名称について

反双角錐という日本語は実の所見かけないが、Antidipyramid(Antibipyramid)を機械的に直訳したものであり、多分間違いでは無い。
ここでは反角柱(Antiprism)と双対である性質諸々を重視し、この呼称を用いている。
中国語では、双と反が逆の双反角錐という呼称がそれなりに使われている模様だが、反角柱や反双角錐の流れで角錐をねじった反角錐という図形も存在しているため、反角錐を双角錐と同様に底面同士で組み合わせた図形と混同しないよう注意が必要となる。

反角柱は角反柱とも呼ばれるが、それに対しては角反双錐とも呼べるかもしれない。
双角錐にもまた重角錐両角錐という別名があるため、反重角錐、ねじれ重角錐、反両角錐、ねじれ両角錐とも呼ぶかもしれない。

ねじれ双角錐と呼ぶ場合、ねじれ角柱やねじれ立方体変形立方八面体)の場合は面をねじっているのに対し、こちらは頂点をねじっているという点に注意が要る。
同様の法則では、五角二十四面体は「ねじれ凧形二十四面体」と呼べる事となる。

英語では主にTrapezohedronと呼ばれている様子であるが、この語は凧形二十四面体の事を指す場合もあるようで注意が要る。
Trapezohedronの字義は「Trapezium+Hedron」であり、直訳すれば「不等辺四角形面体」という何一つこの多面体の個性に触れていない非常に漠然とした名前であるため、混乱が生まれるのも無理はない。
更にTrapeziumは台形を意味する事もある。

Deltohedronとも呼ばれ、こちらは直訳すると「凧形多面体」であり、凧形二十四面体も含みそうな名前となっているが、含まないようなので注意が要る。
デルタ多面体を意味するDeltahedronと酷似してしまう点も要注意である。

関連タグ

菱形六面体 立方体 正十二面体 反角柱 双角錐 角錐 カタランの立体
四角形 凧形 菱形
10面ダイス サイコロ
多面体 立体 図形 三次元 幾何学 数学

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