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星型多面体

ほしがたためんたい

多面体の面を伸ばしてできる図形。
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概要

星型多角形三次元版。
多角形を伸ばしてできる図形が星型多角形なのに対し、多面体を伸ばしてできるのがこれである。
星型正多面体の他、星型八面体のように複合多面体となっているものや、小三角六辺形二十面体のように構成面が正多角形になっていないものも含まれている。

定義について曖昧な部分が多いが、多くの問題は星型多角形と共通している(「星型多角形」の頁を参照)。ここでは「多面体を星型化したもの(元の多面体を除く)」「Star polyhedronとは別物」と解釈して記述する。
星形多面体」と書いたらダメなのかどうかは不明だが、殆どの場合は「星型~」となっており、構成面が星型とは限らない点が菱形多面体とは大きく異なる。

三次元の星型化

多角形から星型多角形を作る操作や、多面体から星型多面体を作る操作を星型化(Stellation)と言い、この表現は次元を問わず用いられる。四次元ではを伸ばす事となる。
星型化の元となる図形は「」と呼ばれ、できた図形の頂点を結んだ図形は「」(正確には、できた図形を含む最小の凸多面体とされる)と呼ばれる。
星型化によってできた図形を「(芯となる図形)の星型」のように表現したりもする。
Stellationという語は、星型化によってできた図形の意味でも用いられる。
二次元の時とは異なり、芯が正多面体以外である場合についての星型も語られている。

ただ、面を伸ばしてできるものなら何でも良いというわけでもない。
J.C.P.ミラーによる定義が比較的一般的のようであるが、完璧な定義というわけでも無い様子である?
星型多角形は芯となる多角形の辺を含んだとなっていたが、星型多面体においてはそのようになっていない例も見られ、「それを星型多面体に加えてしまうとも星型多角形になってしまうのではないか?」という事例もある。
菱形六十面体菱形三十面体の星型とされている様子がある。
立方八面体の面を伸ばしてできる「Compound of cube and octahedron(立方体正八面体複合)」なども星型扱いされている。

二次元の場合との大きな違いとして、正多角形の場合は、頂点を結び直す事で作った場合と、星型化によって作った場合とで同じ結果を出す事ができたが、三次元ではそうはならない。
例えば、星型八面体は正八面体を星型化する事で作る事ができるが、頂点を結び直す事では作る事ができない。一方、立方体を星型化しても何もできないが(無限遠点を含むものを除く)、頂点を結び直す事では星型八面体を作る事ができる。
この「頂点を結び直して星型などを作りだす操作」は何と呼ばれているのか不明であるが、類似の話はVertex arrangement(頂点配置)という用語の中でよく語られている。

類似の図形

一様多面体の「その他」もそれっぽい形をしており、星型正多面体が「正多面体の凸型でない版」であるのに対し、これは「半正多面体の凸型でない版」である。そのため「星型半正多面体」と呼べそうな所であるが、芯となる多面体を定義する事ができなさそうであるため、そうなると星型多面体には含まれず、そう呼ぶ事はできなくなる。

一方、Star polyhedronという扱いはされており、星型正多面体と併せてUniform star polyhedronと呼ばれている。
そして星型正多面体は大抵はRegular star polyhedronと呼ばれているため、Stellated semiregular polyhedronとは呼べなくてもSemiregular star polyhedronという見方は可能であり、そういう意味では星型半正多面体となる。
この辺、星型多面体(Stellated polyhedron)は明確にStar polyhedronとは別の意味合いのようであり、StarとStellatedを共に星型としているための混乱が見られる。

ダ・ヴィンチの星については、基本的には別物と認識した方が無難だが、少なくとも正多面体版については、解釈によっては星型多面体と見ることもできそうである。

関連タグ

星型ポリトープ星型多角形 星型多面体 星型多胞体


 星型 星形  
星型正多面体 星型八面体 小三角六辺形二十面体 菱形六十面体
複合多面体
多面体 立体 図形 三次元 幾何学 数学

他の星っぽい立体

ダ・ヴィンチの星 一様多面体 超二次楕円体
げんきのかたまり 金平糖 ウニ いがぐり ウイルス 花粉 モヤッとボール

関連外部リンク

星型多面体 - Wikipedia
星形化とは - 四次元多胞体の世界
Star polyhedron - 英語版Wikipedia
The Fifty-Nine Icosahedra - 英語版Wikipedia

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