星型正多面体

ほしがたせいためんたい

星型正多角形の三次元版であり、正多面体の凸じゃない版。

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概要

星型正多角形の三次元版であり、正多面体の条件から「凸である事」を省く事で現れる図形である。

「ケプラー・ポアンソの立体」あるいは「ケプラー・ポアンソの多面体」とも呼ばれ、星型多面体の一種であると同時に一様多面体の一種でもあり、更に「一様多面体の双対」の一種でもある。

以下4種が存在。

見た目は4種とも三角形で構成された凹多面体だが、数学的には別物。

例えば、小星型十二面体と大星型十二面体なら、60枚の三角形ではなく12枚の星型五角形（五芒星）で構成されているという所が重要。

面や辺が交差する所は辺や頂点として数えない。

大十二面体と大二十面体は普通の正多角形で構成されているが、頂点の形が星型となっている。

正多面体が紀元前から知られていたのに対し、これらは近代になってようやく知られる事となったらしく、まず小星型十二面体と大星型十二面体が1619年にヨハネス・ケプラーによって発見され、残りが1809年にルイ・ポアンソによって発見されたとされる。

そのため、前者を「ケプラーの多面体」、後者を「ポアンソの多面体」と呼び分ける事もある。

前者は面形状が星型で頂点形状は凸なもの同士、後者は面形状は凸で頂点形状は星型なもの同士でもある。

大二十面体は正二十面体の面を伸ばして行く事で現れるが、他の3つは正十二面体の面を伸ばして行く事で現れる。

一方、頂点を飛ばして結ぶ方法で作る場合は、大星型十二面体のみ正十二面体から作られ、他の3つは正二十面体から作られる。

前者の操作（星型化）の元の図形は「芯」と呼ばれ、後者の操作（ファセッティング）の元の図形は「枠」と呼ばれ、まとめると以下の通り。

このように全て正十二面体と正二十面体からできるため、「星型正多角形の三次元版」というよりは「星型五角形の三次元版」となっている。

また、星型化で出来たものは特に「（元の図形）の星型」と呼ばれているが、正十二面体の星型は上記の3つで全て（正十二面体自身を含めて4つとする事も）であるのに対し、正二十面体の星型は、星型正多面体の中では1つのみが該当しているものの、星型正多面体ではないものが多数存在している。

他次元版については「ポリトープ」を参照。

星型の立体として最もよく見かけるのは、二つの正四面体を複合した、六芒星の三次元版のような形であるが、あれは星型八面体と呼ばれる。

星型多面体の一種ではあるが、複合多面体であるため星型正多面体には含まれない。

小星型十二面体と大二十面体、大十二面体と正二十面体は、辺だけを見ると同じに見えるが、面も考慮する事で見分けが付く。

小星型十二面体と大星型十二面体の見た目は、正多面体の各面に角錐を張り付けたような形であるが、同様の外観を持つものには主に以下が存在（角錐の高さが異なっている。もちろん数学的には別物）。

種別	外観が小星型十二面体に類似	外観が大星型十二面体に類似	特徴
カタランの立体	五方十二面体	三方二十面体	二面角が等しくなるような二等辺三角形で構成されている。
ダ・ヴィンチの星	正十二面体版	正二十面体版	正三角形で構成されている。
半正多面体の凸でない版の双対		小三角六辺形二十面体	特定の六角形で構成されている。