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ポリトープ

ぽりとーぷ

二次元の多角形や、三次元の多面体といった概念を更に高次元へと拡張したもの。
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概要

図形の概念のひとつであり、二次元多角形三次元多面体を一般に拡張したものである。すなわち、多角形は二次元ポリトープ、多面体は三次元ポリトープと呼ばれる。
多胞体という和訳もあるが、普通「多胞体」と単独で言えば四次元ポリトープを示す場合が多い。
まとめると以下のようになっている。

次元固有の名称
零次元
一次元線分
二次元多角形
三次元多面体
四次元多胞体

正ポリトープ(?)

正多角形正多面体を同様に拡張する事も可能である。
これは普通に考えれば正ポリトープと呼ばれそうな所であるが、正多胞体と呼ばれる事が多く、正ポリトープという表現はなぜか未だあまり聞かない。
ここでは多胞体とポリトープを区別する立場に従い、正ポリトープという表現を用いる。

各次元における正ポリトープは以下のようになる。

次元固有の名称種類数
零次元1
一次元線分1
二次元正多角形
三次元正多面体5
四次元正多胞体6
五次元以上3

正多面体を記述する際に用いられるシュレーフリ記号は、他の次元の正ポリトープへも応用される。線分の場合は{}、正n角形の場合は{n}、正多胞体の場合は「正多胞体」参照、そして点の場合は英語版Wikipediaによれば()となる。

一次元版は1種類しか無いが、一次元図形自体が線分だけなため、「正ポリトープの種類/ポリトープの種類」で考えると、正多角形の∞種よりも多くなる。

点の場合は、ファセット(多角形における辺、多面体における面に相当する要素)の解釈に困る点と、シュレーフリ記号による表現法が例外的な点により、正ポリトープに含めて良いかどうかは不安に思う所であるが、一応含まれているようである?

標準正多胞体

五次元以上における正ポリトープは3種しかないが、こられは正四面体立方体正八面体に相当するものである。これらはまとめて標準正多胞体(標準正ポリトープ?)と呼ばれており、各々は以下のように呼ばれている。

名称零次元版一次元版二次元版三次元版四次元版n次元版の頂点数
正単体(α体)線分正三角形正四面体正五胞体n+1
正軸体(β体)線分正方形正八面体正十六胞体2n
正測体(γ体/超立方体)線分正方形立方体正八胞体2^n

ここで、我々は普段「正四面体・立方体・正八面体」という順番で覚えているため、立方体がβ、正八面体がγとなりそうに思える所であるが、逆である点に注意。
αの右下に小さい3を付けて正四面体を表したりする。
零次元の正軸体の解釈は不明。

正十二面体や正二十面体に相当する図形も四次元までなら有るため、それらの一般次元名もあれば少し便利そうだが不明。なおδ体に相当する表現は、n-1次元の正測体によるn次元空間充填形を表すものとして用いられている。

星型ポリトープ(?)

二次元版は星型多角形、三次元版は星型多面体となる。
四次元版は星型多胞体となりそうだが不明。

星型正ポリトープ(?)

次元固有の名称種類数
零次元-0
一次元-0
二次元星型正多角形
三次元星型正多面体4
四次元星型正多胞体10(この動画で紹介されている)
五次元以上-0


関連イラスト

超立方体を0~5次元で描いてみた



関連タグ

 線分 多角形 多面体 多胞体
正多角形 正多面体 正多胞体
次元 零次元 一次元 二次元 三次元 四次元 五次元 多次元
立体 図形 幾何学 数学

関連外部リンク

ポリトープ - Wikipedia

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