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正多面体

せいためんたい

正多角形の三次元版。 1種類の正多角形で構成され、なおかつ全ての頂点形状が等しい凸多面体。
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概要

プラトンの立体とも言い、以下の5種が存在(※レイアウトの都合により、頂点の数→頂数、構成の角数→面形、頂点に入るの数→頂形、後述のシュレーフリ記号→シュレ記号としている)。

多面体の名称頂数辺数面数面形頂形シュレ記号双対備考
正四面体4643(正三角形)3{3,3}正四面体(自己双対)三次元正単体
立方体81264(正方形)3{4,3}正八面体三次元の正測体。単独で空間充填可能。別名:正六面体
正八面体61283(正三角形)4{3,4}立方体三次元の正軸体
正十二面体2030125(正五角形)3{5,3}正二十面体
正二十面体1230203(正三角形)5{3,5}正十二面体

紀元前から知られており、サイコロによく利用される。
名前だけ見れば規則不明だが、上表の「面形」と「頂形」に注目すれば、以下のように簡潔にまとめる事ができる。

↓頂形→面形3456
3正四面体立方体正十二面体平面(正六角形による正平面充填形)
4正八面体平面(正方形による正平面充填形)
5正二十面体
6平面(正三角形による正平面充填形)

これを利用し、{面の形,頂点の形}として各正多面体をズバリ表現できる。例えば{4,3}と言えば立方体の事となる。この表現法をシュレーフリ記号と言う。

正多角形との違いと双対関係

正多面体は正多角形の三次元版に当たるが、事情は随分異なっている。
まず、正多角形が無限種存在するのに対し、正多面体は上記の5種しか存在しない。
次に、正多角形の場合は辺の数と頂点の数が同じであるため正n角形=正n辺形であるが、正多面体はこの辺やや複雑である。例えば立方体は面は6つだが、頂点は8つ、辺は12とバラバラであり、構成面の形や頂点の形という要素も加わる。

更に、面の数=図形の複雑さとも限らない。例えば、正八面体は面は8つと立方体より多いが、頂点は実は6つと少なく、辺の数は同じ12である。実はこの2つは双対関係(詳細は「多面体」を参照)を成しており、複雑さ具合としては同レベルである。
つまり、正多角形には「正三角形→正方形→正五角形」という縦の繋がりしか無かったが、正多面体には双対関係という横の繋がりも有り、「正四面体→(立方体⇔正八面体)」という感じになっている。

正十二面体と正二十面体も双対関係を成しており、名前だけ見れば正二十面体がラスボスっぽいが、頂点の数で見れば正十二面体の方がゴツい。一般的に、この2種は同格の二強と捉えるのが妥当(強いて言えば正十二面体の方がむしろ手強いかも)。なお正四面体は自己双対。
まとめると以下のような分岐進化のような形となる。

    ┌→立方体─→正十二面体
正四面体┤  ⇕     ⇕
    └→正八面体→正二十面体

正多面体の場合はこのように、名前は性質の一部しか表していない点に注意が要る。ある意味偏向報道のようなネーミングなのである。もしかしたら別の世界においては、頂点の数を基準として、立方体は正八角体、正八面体は正六角体、正十二面体は正二十角体、正二十面体は正十二角体のように呼ばれているかもしれない。

通常は面の数順に「正四面体・立方体・正八面体・正十二面体・正二十面体」のように並べられるが、頂点の数順ならば「正四面体・正八面体・立方体・正二十面体・正十二面体」という並びとなる。標準正多胞体という概念においては、正四面体はα、立方体はγ、正八面体はβとされており、ちょうど後者の並びとなっている。

正多面体同士のその他の関係

  • 正四面体の各頂点を辺の中点まで切り込むと正八面体になり、各面をねじって行くと正二十面体→正八面体になる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うと半正多面体となる。
  • 正四面体の各面の中心を適切に吊り上げると立方体となり、各頂点をねじって行くと正十二面体→立方体となる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うとカタランの立体となる。
  • 正十二面体の特定の頂点を結ぶと立方体となり、立方体の特定の頂点を結ぶと正四面体となる。
  • 正二十面体の特定の面を伸ばすと正八面体となり、正八面体の特定の面を伸ばすと正四面体となる。
  • 正四面体、正八面体、正二十面体は面の形が共通しており、正四面体、立方体、正十二面体は頂点に入る辺の数が共通している。電気回路においては、前者の面の形は文字形通りの「Δ(デルタ)」で、後者の頂点の形は3本の線が集まってるという事で「Y(ワイ)」で表現する例がある。


他の立体との関係

なお、角柱双角錐、反角柱と反双角錐も双対関係にある。

条件を緩めると?

「全ての頂点形状が同じ」という条件を省くと、デルタ多面体(正多面体含めて全8種)が含まれて来る。
「全ての面が同じ」という条件を省けば、半正多面体(全13種)、アルキメデスの角柱(無限種存在)、アルキメデスの反角柱(無限種存在)、ミラーの立体が含まれて来る。
以上の両方を省けばジョンソンの立体(全92種)が含まれて来る。

凸多面体(任意の頂点同士を結んだ線が多面体の外部を通らない)という条件を省けば星型正多面体が、更に有限の範囲に収まらなくても良いならねじれ正多面体正スポンジ)や正平面充填形が含まれて来る。
凸多面体という条件と「全ての面が同じ」という条件を省けば一様多面体(正多面体、半正多面体、星型正多面体を含めて全75種)が含まれて来る。

正多面体は、「全ての面と頂点形状と二面角(面と面が辺で繋がる角度)が等しい凸多面体」とも定義できる。
この定義から「頂点形状が同じ」を省けば、半正多面体の双対であるカタランの立体(全13種)、アルキメデスの角柱の双対となるような双角錐(無限種存在)、アルキメデスの反角柱の双対となるような反双角錐(無限種存在)、擬凧形二十四面体が含まれて来る。
面が同じの方を省けば直方体などが含まれて来る。
二面角を省けば、正四面体を辺方向に引き伸ばしたような図形(合同な二等辺三角形で構成される傾いた三角錐)が含まれて来る。

他次元との比較

正多面体は、三次元版の正ポリトープである。
二次元版の正ポリトープは正多角形であり、これは先に述べたように∞種存在する。
これが三次元になると5種に激減するわけだが、四次元正多胞体)になると1種増えて6種となり、五次元では3種に減って、以降は変化しない。

ここで、五次元以上で残る3種というのは、正四面体、立方体、正八面体に相当するものであり、標準正多胞体と呼ばれる。つまり、五次元以上では正十二面体と正二十面体に相当するものが無いわけで、これらには三~四次元の神秘が秘められているのかもしれない。
正四面体、立方体、正八面体の3種は、三次元の標準正多胞体という事で標準正多面体とでも呼べそうであるが、あまり聞かないのと、準正多面体との混同に注意すべきか。

正多面体≠プラトンの立体?

英語版Wikipediaによると、正多面体の英名に当たるregular polyhedronは、星型正多面体も含んでいるようであり、通常の正多面体はPlatonic solid(プラトンの立体)、或いはregular convex polyhedron(凸正多面体?)とされ区別されている。ねじれ正多面体と正平面充填形までは通常は含まない様子。

同様に、半正多面体の英名semi-regular polyhedronと準正多面体の英名quasi-regular polyhedron、ついでに正多角形の英名regular polygonも、星型を含んでいる様子が有る。凸型の半正多面体はArchimedean solid(アルキメデスの立体)と呼ばれている。日本語版Wikipediaでさえ、凸型で無い多面体を準正多面体と呼んでいる記事もある。

要は、この辺の言葉の定義は未だ未だ曖昧な様子なので、用心しておくに越した事は無い。

正多面体と古典元素

プラトンによって、四大元素と以下のように結び付けられている。

正多面体元素
正四面体
立方体
正八面体
正十二面体エーテル
正二十面体

ここで正十二面体は「を構成する元素」として特殊な扱いをされている。
第五元素と言えばプラトンの弟子アリストテレスが提唱したエーテルがあり、これは宇宙を構成するとされるため、実質的には正十二面体⇔エーテルとして良さそうではあるが、英語版Wikipediaによれば、アリストテレスは元素と正多面体の対応には関心無かった様子?

元々5つである五行五大の方が正多面体との相性は良さそうであり、双対関係を持つ点は陰陽説と相性良さそうであるが、結び付けられたという話は聞かない。東洋での知名度はいま一つだったのだろうか。

天体運動で有名なケプラーは、当時知られていた6つの惑星軌道と、正多面体とを結びつける宇宙モデルを提唱した。

正多面体なキャラ

※各正多面体の記事も参照。

正八面体

ピクス ラミエル

正二十面体

ミラクルマター

関連イラスト

別々



関連タグ

ポリトープ正多角形 正多面体 正多胞体


サイコロ 四大元素 ビーズ 折り紙 ブロック ゾムツール 宝石 鉱物 鉱石 結晶
デルタ多面体 超二次楕円体 シュレーフリ記号
星型正多面体 半正多面体 カタランの立体 ジョンソンの立体 平面充填 平面 
一様多面体 多面体 立体 図形 三次元 幾何学 数学

関連外部リンク

正多面体 - Wikipedia
正多面体クラブ
正六面体から正多面体を切り出す - YouTube

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