概要
ここで言う「曲がっている」というのは、道路が曲がってる場合のような平坦な曲がり方ではなく、山の起伏のような三次元的な曲がり方を指す。
そういう曲がり方は三次元以上の空間でなければ起こらないので、三次元以上でのみ存在する。
面積で表される二次元的な存在であり、通常は立体とは見なされないが、球やトーラスのように、曲面なのか立体なのか曖昧な使われ方をするものも多い。
曲がっていなければ「平面」となるが、曲線の場合と同様、文脈によっては「平面とは限らない面」という意味合いで、平面や折れ面も曲面の一種となる。
平面を含む滑らかな曲面は特に「可微分曲面」と呼ばれ、更に折れてる面も含んだようなものは「位相曲面」と呼ばれる。
滑らかな曲面
曲面の曲がり方は、曲線と同様の曲率を利用して表す事ができる。
曲線の場合と同様、滑らかな曲面の一点には接面を定義できる。
ただ、曲面の場合は、同じ地点でも向きによって曲がり方が異なっている事が殆どである。
また、円柱や円錐における曲面のように展開図を作る事が可能なタイプと、球における曲面のように展開図を作れないタイプとがある。
この辺りの性質を記述するものとして、「ガウス曲率」というものがある。
これは方向による曲率の最大と最小を掛け算したもののようになっている。
円柱や円錐の面はこれが0であり、それが展開図を作れる条件にもなっている。
一方、球の面はこれが正となっており、負ならば鞍の中心部のような曲がり方となる。
種類
- 球面…その名の通り、球の表面。
- 放物面…放物線を回転させる事でできる面。パラボラアンテナの語源。
- 双曲面…双曲線を回転させる事でできる面。
- 楕円面…楕円体の表面であり、楕円の形をした面ではない。
- トーラス面…トーラスの面だが、単に「トーラス」と言った場合にはこちらを指す事も多いらしい。対して、中身の詰まったものは「トーラス体」と呼ばれる。
- メビウスの輪…表と裏の区別が無い帯。
- クラインの壺…メビウスの輪の発展型的なもの。四次元的な構造を持っている。
関連タグ
曲面を持つ立体
球 円錐 円柱 双円錐 角球 楕円体 超2次楕円体/超二次楕円体 トーラス
