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概要

一様多面体の双対多面体の事であり、以下が属している。

  1. 正多面体(5種)…一様多面体の一種でもある。
  2. 星型正多面体(4種)…一様多面体の一種でもある。
  3. カタランの立体(13種)
  4. 半正多面体の凸でない版の双対(53種)
  5. アルキメデスの角柱の双対となるような双角錐(∞種)…一様多面体に無限系列を含める場合
  6. アルキメデスの反角柱の双対となるような反双角錐(∞種)…同上

日本語ではなぜかこれ以外に正式名称らしいものが見当たらず、英語では「Dual uniform polyhedra」「Uniform dual」といった呼び方が存在。
正多面体~カタランの立体にはちゃんとした名前が付いてるため、あえてこう呼ぶ場合は「半正多面体の凸でない版の双対」の事を指す事が多め。

半正多面体の凸でない版の双対

「カタランの立体の凸でない版」とも言える図形であり、以下の53種が存在。

名称双対
Tetrahemihexacron四面半六面体
Octahemioctacron八面半八面体
Hexahemioctacron/Cubohemioctacron立方半八面体
Small hexacronic icositetrahedron小立方立方八面体
Small rhombihexacron小斜方六面体
大三方八面体(Great triakis octahedron)星型切頂六面体
Great hexacronic icositetrahedron大立方立方八面体
大凧形二十四面体(Great deltoidal icositetrahedron)一様大斜方立方八面体
Great rhombihexacron大斜方六面体
四重二方六面体(Tetradyakis hexahedron)立方切頂立方八面体
大二重二方十二面体(Great disdyakis dodecahedron)大切頂立方八面体
小三角六辺形二十面体(Small triambic icosahedron)小二重三角二十・十二面体
大三角六辺形二十面体?(Great triambic icosahedron)大二重三角二十・十二面体
中三角六辺形二十面体?(Medial triambic icosahedron)二重三角十二・十二面体
中菱形三十面体(Medial rhombic triacontahedron)十二・十二面体
Small icosihemidodecacron小二十面半十二面体
Small dodecahemidodecacron小十二面半十二面体
大菱形三十面体(Great rhombic triacontahedron)大二十・十二面体
Small dodecahemicosacron小十二面半二十面体
Great dodecahemicosacron大十二面半二十面体
Great dodecahemidodecacron大十二面半十二面体
Great icosihemidodecacron大二十面半十二面体
Small dodecacronic hexecontahedron小十二・二十・十二面体
Small rhombidodecacron小斜方十二面体
大五方十二面体(Great pentakis dodecahedron)小星型切頂十二面体
Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron大二重三角十二・二十・十二面体
Great icosacronic hexecontahedron大二十・二十・十二面体
Great dodecicosacron大十二・二十面体
大星型五方十二面体(Great stellapentakis dodecahedron)切頂大二十面体
Small icosacronic hexecontahedron小二十・二十・十二面体
Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron小二重三角十二・二十・十二面体
Small dodecicosacron小十二・二十面体
大三方二十面体(Great triakis icosahedron)大星型切頂十二面体
大六角六十面体?(Great hexagonal hexecontahedron)大変形十二・二十・十二面体
Great dirhombicosidodecacron大二重斜方二十・十二面体
小六線星型六十面体?(Small hexagrammic hexecontahedron)小反屈変形二十・二十・十二面体
小星型五方十二面体(Small stellapentakis dodecahedron)切頂大十二面体
Great dodecacronic hexecontahedron大十二・二十・十二面体
大凧形六十面体(Great deltoidal hexecontahedron)一様大斜方二十・十二面体
Great rhombidodecacron大斜方十二面体
中凧形六十面体(Medial deltoidal hexecontahedron)斜方十二・十二面体
Medial icosacronic hexecontahedron二十・十二・十二面体
Rhombicosacron斜方二十面体
小六角六十面体(Small hexagonal hexecontahedron)小変形二十・二十・十二面体
三重二方二十面体(Tridyakis icosahedron)二十面切頂十二・十二面体
中二重二方三十面体(Medial disdyakis triacontahedron)切頂十二・十二面体
大二重二方三十面体(Great disdyakis triacontahedron)大切頂二十・十二面体
中五角六十面体(Medial pentagonal hexecontahedron)変形十二・十二面体
中六角六十面体(Medial hexagonal hexecontahedron)変形二十・十二・十二面体
大五角六十面体(Great pentagonal hexecontahedron)大変形二十・十二面体
中逆五角六十面体(Medial inverted pentagonal hexecontahedron)逆変形十二・十二面体
大逆五角六十面体(Great inverted pentagonal hexecontahedron)大逆変形二十・十二面体
大五線星型六十面体(Great pentagrammic hexecontahedron)大反屈変形二十・十二面体

全て、正多面体またはカタランの立体の面を展ばして行ったような形となっており、いわゆる星型多面体の様相となっている。

無限遠点を含むタイプも存在しており、見た目としては無限に高い角柱を交差させた形となっている。
このタイプのものの双対は、面が立体の中心を通るタイプとなっている。

以下のように、外観では区別が付かないものも存在する(外観で区別が付かないため、星型多面体における英字で区別する方式では同一視される)。
  • 「Small rhombihexacron」と「Small hexacronic icositetrahedron」
  • 「中三角六辺形二十面体」と「大三角六辺形二十面体」
  • 「Small dodecicosacron」と「Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron」
  • 「Small rhombidodecacron」と「Small dodecacronic hexecontahedron」
  • 「Great rhombidodecacron」と「大凧形六十面体」
  • 「Hexahemioctacron」と「Octahemioctacron」
  • 「Small dodecahemidodecacron」と「Small icosihemidodecacron」
  • 「Great dodecahemidodecacron」と「Great icosihemidodecacron」
  • 「Small dodecahemicosacron」と「Great dodecahemicosacron」

「Tetrahemihexacron」「Small hexacronic icositetrahedron」など、日本語が不明なものも存在している。
「-cron」で終わっているものは、双対となる多面体の「-hedron」を「-cron」に置き換えた名前となっている。
そのため、「-cron」は「~の双対」という解釈で当て嵌るが、無限遠点を持つタイプか、交差平行四辺形で構成されたタイプに限られて用いられている。
その交差平行四辺形の辺を伸ばす事によって得られる凧形(凹型も含む)で構成されたタイプに対しては、「-cronic ~」といった名前がちらほら付けられている。

双対の「半正多面体の凸でない版」になぜかちゃんとしたグループ名が不明であるように、これもちゃんとしたグループ名は不明となっている。
一応、「アルキメデス双対」や「星型一様多面体」「非凸一様多面体」といった呼称に倣えば、「星型半正双対」「非凸半正双対」といった呼び方はできる。

関連タグ

星型多面体…星っぽい図形のまとめ有り

多面体 立体 図形 三次元 幾何学 数学

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