対称

たいしょう

何かしらの変化に対して不変である事。

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1 概要

2 色々な対称

3 点対称と回転対称などの関係

4 関連タグ

5 関連外部リンク

概要

図形や物体、あるいはその配置などにおいて、何かしらの移動などを行っても元と全く区別が付かないような事。

辞書的には「釣り合う事」と説明される。

英語は「シンメトリー」（Symmetry）。

左右対称が代表的であり、これは左右の反転に対して不変となっている。

並進対称のように、「対」的なものとはかけ離れたものも存在している。

「点や面に対して対称」のように言った場合には、「その点や面を基準とした反転に対して不変」という意味合いとなる。

「光と闇」的なものも、色空間などの上では一種の対称と考えられる場合もあるが、どちらかといえば「対照」と表現されている。

対称的かつ対照的に描かれてる事もよくあるので難しい部分もある。

「対象」は全く別の意味なので誤変換に注意。

色々な対称

鏡映対称（鏡像対称、鏡面対称、反射対称）…鏡映（鏡像的な反転）における対称。「シンメトリー」と言えば通常これを指し、向きによって「左右対称」「上下対称」「前後対称」と呼び分けられる。一次元以上で定義できる。
回転対称…回転における対称。回転角に応じて「n回対称（n回回転対称）」等と呼び分けられる。二次元以上で定義できる。2回対称は、互いに垂直な2度の鏡映についての対称に一致。
回映対称…鏡映と回転を、（三次元なら）鏡映面と回転軸が垂直となる方向で続けて行った場合に対する対称。回転角に応じて「n回回映対称」等と呼び分けられる。三次元以上で定義できる。2回回映対称は、互いに垂直な3度の鏡映についての対称に一致。
並進対称…並進（平行移動）における対称。無限に伸びる形となる。一次元以上で定義できる。
映進対称（すべり鏡映対称）…鏡映と並進を、並進の方向が鏡と平行になるように続けて行った場合についての対称。左足と右足で繰り返す足跡のような形が該当。
らせん対称…回転と並進を組み合わせた、螺旋を描くような操作についての対称。
点対称（反転対称）…特定の点に対する反転における対称。一次元では鏡映対称に、二次元では2回対称に、三次元では2回回映対称に一致。
線対称…特定の直線に対する反転における対称。二次元では鏡映対称に、三次元では2回対称に一致。
面対称…特定の平面に対する反転における対称。三次元では鏡映対称に、四次元では2回対称に一致。
軸対称…物理などにおいて、三次元における∞回対称的な意味で用いられている。
回反対称…回転と（特定の点に対する）反転を続けて行った場合に対する対称。回転角に応じて「n回回反対称」等と呼び分けられる。回映対称とよく比較されるが、こちらは二次元以上で定義できる。現れる図形は、三次元においては回映対称と同じものとなり、例えば3回回反対称は6回回映対称と等しく、逆に6回回反対称は3回回映対称と等しい。二次元の場合は回転対称との間に同様の関係を持っている。
拡大縮小対称（拡大対称、縮尺対称、スケール対称）…拡大操作/縮小操作における対称。フラクタル図形の内の自己相似型のものが該当。「スケール対称性」というと、専ら物理学的な意味合いで用いられている様子があり、「スケール不変性」とも。

点対称と回転対称などの関係

上記の通り、二次元では「点対称＝2回対称」「線対称＝鏡映対称」となるが、他の次元では別物となる。

点対称、線対称、面対称が「n次元における、0～2次元体に対する対称性」であるのに対し、回転対称と鏡映対称は「n次元における、n-2～n-1次元体に対する対称性」と言える。

これだと、回転対称等は次元毎に定義が違ってるように見えてしまうかもしれないが、これは一種の見方の問題によって起こるものである。

例えば回転対称の場合であれば、回転という操作自体が、二次元では点を中心に、三次元では直線を中心に行われるという見方もできるが、回転する物体の特定の点に注目すると、これは何次元であっても平面的な円を描くため、特定の面に平行に行うものという見方もできる。

一方で、面に垂直な方向に行われるのが面対称となる。

(a1,a2,a3,…)という座標で表現すると解り易いかもしれない。

これを1つの要素だけ反転させた(-a1,a2,a3,…)が鏡映対称にあたり、全ての要素を反転させた(-a1,-a2,-a3,…)が点対称にあたる。

そして、1つ以外を全て反転させた(a1,-a2,-a3,…)が線対称にあたる。

なお、(-a1,-a2,-a3,…)は-(a1,a2,a3,…)と表現でき、(a1,-a2,-a3,…)は-(-a1,a2,a3,…)と表現できるため、線対称と鏡映対称が、複雑さ具合としては同程度であることがわかる。

各対称と次元の関係をまとめると以下のようになる。

	一次元	二次元	三次元	四次元
点対称	鏡映対称	2回回転対称	2回回映対称	互いに垂直な4度の鏡映についての対称
線対称	-	鏡映対称	2回回転対称	2回回映対称
面対称	-	-	鏡映対称	2回回転対称
鏡映対称	点対称	線対称	面対称	胞対称？
2回回転対称	-	点対称	線対称	面対称
2回回映対称	-	-	点対称	線対称