三角関数

さんかくかんすう

サイン・コサイン・タンジェント。

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概要

直角三角形の3つの辺の比で定義されるもので、主にサイン（sin）、コサイン（cos）、タンジェント（tan）の事である。

三角比とほぼ同義であり、三角比を角度の関数と見た場合に特にこう呼ばれる。

サイン

「正弦」とも呼ばれ、直角三角形の片方の鋭角をθとした場合、そのθと向かい合う辺の長さを、斜辺の長さで割った値がsinθと表現される。

例えばsin30°=1/2であり、sin0°=0である。

直角三角形は斜辺が常に一番長いため、sinθの値は、θが幾つであっても-1～1の範囲しか取らない。

y=sinxとして平面上で表現すると、一般的な波のような形となる。

この形は「正弦曲線」「サインカーブ」などと呼ばれ、そういう形の波は「正弦波」「サイン波」などと呼ばれる。

下のコサインと共に、円運動や振り子運動などの周期的な運動を表すのに必須である。

sinxのn乗は通常、sinx^nでは無くsin^nxと表現される。

ただし、sin^(-1)xとした場合は大抵、後述の逆三角関数の意味合いとされるため注意が要る。

コサイン

θと隣り合う斜辺でない方の辺の長さを、斜辺の長さで割ったものであり、「余弦」とも呼ばれる。

y=cosxの形は、y=sinxが少しずれただけのものであるが、(x,y)=(cosθ,sinθ)とすると円を描く事ができ、(x,y)=(acosθ,bsinθ)ならば（長径がx軸かy軸に平行な）楕円となる。

sinは奇関数、cosは偶関数となっている。

タンジェント・他

θに向かい合う辺を、隣り合う斜辺でない辺で割ったものであり、「正接」とも呼ばれる。

y=tanxは、-∞から+∞へ何度も走るような形となっている。

sin、cos、tanがどことどこの比なのかの覚え方としては、下図のように、それぞれの頭文字であるs、c、tの筆記体の形になぞらえたものが有名。

各々、割る数と割られる数を逆にしたものとして、cosec（csc、コセカント、余割）、sec（セカント、正割）、cot（コタンジェント、余接）も存在するが、普通は使われない。

逆関数

三角関数の逆関数は逆三角関数と呼ばれ、各々は元の関数に「アーク」を接頭した名でよく呼ばれる。

sinの逆関数なら「アークサイン」と呼ばれ、arcsin、sin^(-1)などと表記される。

複素数への拡張

指数関数とは「e^(iθ)=cosθ+i×sinθ」という関係があるとされる（オイラーの公式）。

これに基づけば、θを複素数に拡張する事により、sinやcosは-1～1の範囲外の値も取る事ができるようになる。

これを変形するとsinθ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/2i、cosθ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2となる。

これに対し、「e^θ=coshθ+sinhθ)」で表現されるsinhやcoshは双曲線関数と呼ばれる。

基本的な関係

だいたいの公式は以下から出て来るため、物によっては導き方さえ理解しておけば良い場合もある。

sin(x+90°)=cosx
cos(x+90°)=-sinx
sin(-x)=-sinx … 奇関数であるという事
cos(-x)=cosx … 偶関数であるという事
tanx=sinx/cosx … 定義からズバリ
sin^2x+cos^2x=1 … 三平方の定理と関係
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
dsinx/dx=cosx
dcosx/dx=-sinx

外部リンク

三角関数 - Wikipedia

三角関数とは - ニコニコ大百科

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