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三角関数

さんかくかんすう

サイン・コサイン・タンジェント。
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概要

直角三角形の3つので定義されるもので、主にサインsin)、コサインcos)、タンジェントtan)の事である。
三角比とほぼ同義であり、三角比を角度関数と見た場合に特にこう呼ばれる。

※以下ではピク百の仕様の都合上、「aのb乗」を「a^b」と表現している。

サイン

正弦」とも呼ばれ、直角三角形の片方の鋭角をθとした場合、そのθと向かい合う辺の長さを、斜辺の長さで割った値がsinθと表現される。
例えばsin30°=1/2であり、sin0°=0である。
直角三角形は斜辺が常に一番長いため、sinθの値は、θが幾つであっても-1~1の範囲しか取らない。

y=sin(x)として平面上で表現すると、一般的なのようなとなる。
この形は「正弦曲線」「サインカーブ」などと呼ばれ、そういう形の波は「正弦波」「サイン波」などと呼ばれる。

sin(x)のn乗は通常、sin(x)^nでは無くsin^n(x)と表現される。
ただし、sin^-1(x)とした場合は大抵、後述の逆三角関数の意味合いとされるため注意が要る。

コサイン

θと隣り合う斜辺でない方の辺の長さを、斜辺の長さで割ったものであり、「余弦」とも呼ばれる。
y=cos(x)の形は、y=sin(x)が少しずれただけのものであるが、(x,y)=(cosθ,sinθ)とするとを描く事ができ、(x,y)=(a×cosθ,b×sinθ)ならば(長径がx軸かy軸に平行な)楕円となる。
sinは奇関数、cosは偶関数となっている。

タンジェント・他

θに向かい合う辺を、隣り合う斜辺でない辺で割ったものであり、「正接」とも呼ばれる。
y=tan(x)は、-∞から+∞へ何度も走るような形となっている。
sin、cos、tanがどことどこの比なのかの覚え方としては、下図のように、それぞれの頭文字であるs、c、tの筆記体の形になぞらえたものが有名。

誰しも苦手なモノはあるもので・・・。県令殿のご発言(撤回済み)


各々、割る数と割られる数を逆にしたものとして、cosec(csc、コセカント余割)、sec(セカント正割)、cot(コタンジェント余接)も存在するが、普通は使われない。

逆関数

三角関数の逆関数逆三角関数と呼ばれ、各々は元の関数に「アーク」を接頭した名でよく呼ばれる。
sinの逆関数なら「アークサイン」と呼ばれ、arcsin、asin、sin^-1などと表記される。

複素数への拡張

指数関数とは「e^iθ=cos(θ)+i×sin(θ)」という関係があるとされる(オイラーの公式)。
これに基づけば、θを複素数に拡張する事により、sinやcosは-1~1の範囲外の値も取る事ができるようになる。
これを変形するとsin(θ)=(e^iθ-e^-iθ)/2i、cos(θ)=(e^iθ+e^-iθ)/2となる。
これに対し、「e^θ=cosh(θ)+sinh(θ)」で表現されるsinhやcoshは双曲線関数と呼ばれる。

基本的な関係

だいたいの公式は以下から出て来るため、物によっては導き方さえ理解しておけば良い場合もある。

  • sin(x+90°)=cos(x)
  • cos(x+90°)=-sin(x)
  • sin(-x)=-sin(x) … 奇関数であるという事
  • cos(-x)=cos(x) … 偶関数であるという事
  • tan(x)=sin(x)/cos(x) … 定義からズバリ
  • sin^2(x)+cos^2(x)=1 … 三平方の定理と関係
  • sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
  • cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) … コスコスシンシン
  • dsin(x)/dx=cos(x)
  • dcos(x)/dx=-sin(x)

関連タグ

三角比 直角三角形 三角形 角度  楕円 極座標
関数  数学 フーリエ級数  波動 sinc関数
正弦定理 余弦定理 加法定理 三平方の定理/ピタゴラスの定理

テレビゲーム当たり判定を作るうえで三角関数は欠かせない。
三角関係:一字違い

外部リンク

三角関数 - Wikipedia
三角関数とは - ニコニコ大百科

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