概要
とても難解なので次元を落とした例がよく使われる。
以下がポアンカレ予想を二次元平面で例えた例となる。
例えば円形の何もない部屋があるとする。スタート地点にロープの端を固定し、反対側を持って部屋を一周する。そしてロープの両端を持ってたぐり寄せる。このときロープが地面から離れてはいけない。もちろんロープは地面を離れることなく手元に戻ってくる。四角や三角の部屋でも同様となる。
しかしこれが真ん中が空いているドーナツ型の部屋だと、ロープが真ん中に引っかかってしまいたぐり寄せることができない。
次は二次元曲面で例えた例
球体の星があるとする。同様にロープを持って星を一周してたぐり寄せると手元に戻ってくる。
しかしドーナツ型の星だとたぐり寄せる際にロープが引っかかってしまったり地面から離れてしまったりする。
（実際にこの方法を試そうとするといろいろと問題が出てくるがあくまで理論上の話）
これらは感覚的には当たり前のことだが、絶対にそうなるかを数学的に証明するとなると難しい。
ポアンカレ予想はこれらを三次元曲面に置き換えた予想となる。
なお「ポアンカレ予想が証明されると宇宙の形がわかる」と誤解している人もいるが、ポアンカレ予想はあくまで「この方法を使えば宇宙の形がわかる」という方法が完璧かどうか確認するものであって、実際にこの方法を試してみなければ宇宙の形はわからない。
現在は数学者のグリゴリ・ペレリマンによって証明されたのでポアンカレの定理と呼ぶべきだが、証明されない期間が長かったせいか今でもポアンカレ予想と呼ぶ人は多い。
