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三角関数の編集履歴

2017-11-05 23:33:50 バージョン

三角関数

さんかくかんすう

サイン・コサイン・タンジェント。

概要

直角三角形の3つので定義されるもので、主にサインsin)、コサインcos)、タンジェントtan)の事である。

三角比とほぼ同義であり、三角比を角度関数と見た場合に特にこう呼ばれる。


サイン

正弦」とも呼ばれ、直角三角形の片方の鋭角をθとした場合、そのθと向かい合う辺の長さを、斜辺の長さで割った値がsinθと表現される。

例えばsin30°=1/2であり、sin0°=0である。

直角三角形は斜辺が常に一番長いため、sinθの値は、θが幾つであっても-1~1の範囲しか取らない。

y=sin(x)として平面上で表現すると、一般的なのようなとなる。


コサイン

θと隣り合う斜辺でない方の辺の長さを、斜辺の長さで割ったものであり、「余弦」とも呼ばれる。

y=cos(x)はy=sin(x)とちょっとずれただけの形であるが、(x,y)=(cosθ,sinθ)とするとを描く事ができ、(x,y)=(a×cosθ,b×sinθ)ならば(長径がx軸かy軸に平行な)楕円となる。

sinは奇関数、cosは偶関数となっている。


タンジェント・他

θに向かい合う辺を、隣り合う斜辺でない辺で割ったものであり、「正接」とも呼ばれる。

y=tan(x)は、-∞から+∞へ何度も走るような形となっている。

sin、cos、tanがどことどこの比なのかの覚え方としては、下図のように、それぞれの頭文字であるs、c、tの筆記体の形になぞらえたものが有名。

各々、割る数と割られる数を逆にしたものとして、cosec(csc、コセカント余割)、sec(セカント正割)、cot(コタンジェント余接)も存在するが、普通は使われない。


逆関数

三角関数の逆関数逆三角関数と呼ばれ、各々は元の関数に「アーク」を接頭した名でよく呼ばれる。

sinの逆関数なら「アークサイン」と呼ばれ、arcsin、Asinなどと表記される。


複素数への拡張

指数関数とは「e^iθ=cos(θ)+i×sin(θ)」という関係があるとされる(オイラーの公式)。

これに基づけば、θを複素数に拡張する事により、sinやcosは-1~1の範囲外の値も取る事ができるようになる。

これに対し、「e^θ=cosh(θ)+sinh(θ)」で表現されるsinhやcoshは双曲線関数と呼ばれる。


基本的な関係

だいたいの公式は以下から出て来るため、物によっては導き方さえ理解しておけば良い場合もある。

  • sin(x+90°)=cos(x)
  • cos(x+90°)=-sin(x)
  • sin(-x)=-sin(x) … 奇関数であるという事
  • cos(-x)=cos(x) … 偶関数であるという事
  • tan(x)=sin(x)/cos(x) … 定義からズバリ
  • sin^2(x)+cos^2(x)=1 … 三平方の定理と関係
  • sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
  • cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) … コスコスシンシン
  • dsin(x)/dx=cos(x)
  • dcos(x)/dx=-sin(x)

関連タグ

直角三角形 三角形 角度  楕円 関数 数学 フーリエ級数

 波動


関連外部リンク

三角関数 - Wikipedia

三角関数とは - ニコニコ大百科

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