1周=τで表せる。
円と扇形の比が係数と一致する。
- 例えば、中心角45°の扇形は円を1/8にした図形である。τを用いると45°=1/8τ（ラジアン）となり、見た目と係数が一致して直感的に理解しやすくなる。
0°≦θ≦360°の範囲においてτの係数が真分数となる。
- πを用いた場合、例えば250°は弧度法で25/18π（ラジアン）となり、1周未満なのに仮分数となってややこしいが、τを用いると25/36τ（ラジアン）となり、真分数となる。

孤の長さ

τの定義により、円周はτr、扇形の孤はθr。
- 扇形の弧の長さの公式はπを用いた場合と変わらないが、中心角が1/6τ（ラジアン）と表記されていれば「円周の1/6だから円周を6で割ればいい」と直感的になる。

面積

円の面積は1/2τr²、扇形の面積は1/2θr²。
- 円の面積だけは係数の1/2がつくが、一次式を積分しているのだから係数1/2がつくのはむしろ自然である。
- 小学校レベルで言うなら、面積の公式は多くの場合「÷2」があるので、今更1つ増えたぐらいで覚える手間はさほど変わりない。 ---算数の教科書をひもとけば、円の面積を導出する際、途中で「円の面積=半径×円周÷2」という表現が出てくる。これは、アルキメデスが導出した円の面積の公式と同じ表現であり、「なぜ円の面積がこの公式になるのか」を考える上ではこちらの方がより本質的である。

※上記の公式は、円周/円の面積を中心角が360°(τラジアン)の扇形と同じ形で表記することができる。公式の統一化ができる。

球

表面積は2τr²、体積は2/3τr³。
- τr³は球に外接する円柱の体積、2τr²はその側面積なので、アルキメデスが導出した「球の表面積は、それに外接する円柱の側面積に等しい」「球の体積は、それに外接する円柱の体積の2/3である」という性質が係数として端的に示される。
- 球の中心を通る直線を引き、球の表面との交点の一方を「北極」とする。以下、地球のそれと同様に「緯度」「緯線」を定義する。いま緯度θの緯線に沿って球を切断し、さらに緯度θ+dθで切断した輪切りを考える。この輪切りの側面を長方形と見なせば、縦rdθ、横τrcosθと表せる。よって、面積dSはτr²cosθdθとなる。よって、球の表面積Sは2∫0(τ/4)τr²cosθdθ=2τr²[sinθ]0(τ/4)=2τr²となる。cosθの積分はsinθであり、sin(τ/4)=1なのでこの部分が綺麗に消える。係数の「2」は半球から2倍した分であることが途中式からわかる。
- 同様に、中心からの距離xの面で切断し、さらにそれに平行な距離x+dxの面で切断した輪切りを考え、これを円柱と見なす。この「円柱」の底面積は半径√(r²-x²)の円のそれである。高さをdxと置けば、体積dVは(1/2)τ{√(r²-x²)}²dxとなる。よって、球の体積Vは2×(1/2)τ∫0r(r²-x²)dx=τ[r²x-(1/3)x³]0r=τ(r³-(1/3)r³)=(2/3)τr³となる。なぜ係数が2/3などという中途半端な数なのかと言えば、3行目に「1-(1/3)」が出てくるからで、この「1/3」は二次式を積分したからである。τを用いると、円の面積の公式に登場する「1/2」が半球から2倍した分を相殺するので、これが端的に示される。

三角関数

sinxとcosxの周期はτ、tanxの周期はτ/2。
- sinとcosは1周、tanは半周すると元に戻ることが端的に示される。

割三角関数

secxとcscxの周期はτ、cotxの周期はτ/2。（secx=1/cosx、cscx=1/sinx、cotx=1/tanx）
- secとcscは一周、cotは半周すると元に戻ることが端的に示される。

オイラーの等式

e^iτ=1
- 元々の式はe^iπ+1=0。これは座標平面上において、点(1,0)から単位円を半周してx座標を+1すると原点に戻ることを表す。それに対し、この式は点(1,0)から単位円を一周してまた点(1,0)に戻ることを表している。
- オイラーの等式は、オイラーの公式e^iθ=cosθ+isinθにおいて、偏角θに「キリのよい数」を代入したものだ。θにπを代入した場合、偏角に「半周」を代入したことになる。θにτを代入した場合、偏角に「1周」を代入したことになるので、より「キリがよい」。すなわち、「偏角が1周だから、コサインは1でサインは0」と納得しやすい。

定数

hをプランク定数とすれば、ディラック定数ℏはh/τ
角周波数など、「1周」で割ったりかけたりするものは、τに置換することによって係数2を省略できる。
ただし、クーロン力定数のように、2πにさらに係数がかかっている場合、あまり手間は変わらない。

その他

ガウス積分
- ∫(-∞→∞)exp(-ax²)dx=√(π/a)=√(τ/2a)

ガンマ関数
- Γ(1/2)=√π=√(τ/2)

断面係数
- Z=2Z₀=πd³/32=τd³/64=τ(d/4)³=τ(r/2)³

断面二次極モーメント
- I₀=I/2=πd⁴/128=τd⁴/256=τ(d/4)⁴=τ(r/2)⁴

球面調和関数
- Yₙⁿ=(-1)⁽ᵐ⁺ˡᵐˡ⁾ᐟ²×√{(2n+1)/(4π) ×(n-|m|)!/(n+|m|)!}×Pₙˡᵐˡ(cosθ)exp(imφ)=(-1)⁽ᵐ⁺ˡᵐˡ⁾ᐟ²×√{(2n+1)/(2τ) ×(n-|m|)!/(n+|m|)!}×Pₙˡᵐˡ(cosθ)exp(imφ)

逆格子ベクトル
- |G|=2π/d=τ/d

フーリエ変換
- ∫[f(x)e^(-2πixξ)dx, x, -∞, ∞]=∫[f(x)e^(-τixξ)dx, x, -∞, ∞]

フーリエ逆変換
- ∫[f(x)e^(2πixξ)dξ, ξ, -∞, ∞]=∫[f(x)e^(τixξ)dξ, ξ, -∞, ∞]

自然数の無限積

1×2×3×4×5×6×7×8×…=√(2π)=√τ

素数の無限積

2×3×5×7×11×13×17×…=4π²=(2π)²=τ²

余談

プログラミング言語によっては標準でτが使える。

C#(.NET Framework): Math.Tau(5.0から)
Processing: TAU (3.0から)
Python: math.tau(3.6から)
RUST: Constant std::f32::consts::TAU、Constant std::f64::consts::TAU(ともに1.47.0から)