オイラーの等式

おいらーのとうしき

指数関数と三角関数が複素数範囲では互いに変形できることを示す式

概要

ネイピア数eと虚数単位iを用いてe^iθ=cosθ+isinθのように表される式。証明には指数関数・三角関数のテイラー展開を用いる。この式は、三角関数と指数関数が複素数範囲で繫がっていることを示す。実数範囲ではそれぞれ周期関数・単調増加関数であるので、このような式が成り立つことは驚愕である。なお、上式のθをnθに置き換えるとド・モアブルの定理よりe^inθ=cosnθ+isinnθ=(cosθ+isinθ)^nであることもわかる。

オイラーの公式

上式のθに円周率πを代入すると、有名なe^iπ+1=0の式（オイラーの公式）が導き出される。

この式は代数学の基礎的な数0,1,i、解析学の基礎的な数e,幾何学の基礎的な数πを一つに結びつける等式なので、「世界一美しい式」と形容される。

なお、πを二倍した値であるτを代入するとe^iτ=1となり、こちらの形の方が美しいと主張する者もいる。この場合、「偏角(θ)に一周(弧度法で一周は2π=τ)を代入したからサインは0でコサインは1」というふうに直感的に解釈することができる。

関連タグ

三角関数　指数関数　円周率　τ(数学定数)　複素関数　テイラー展開

レオンハルト・オイラー