正多胞体

せいたほうたい

正多角形や正多面体の四次元または一般次元版。

概要

正多面体の四次元もしくは一般次元バージョン。

多胞体と言った場合には大抵四次元の図形とされ、一般次元版はポリトープと呼ばれる事が多いとの事だが、対して正多胞体と言った場合は一般次元版を指す事も多く、正ポリトープという表現はなぜかあまり聞かない。

本稿では多胞体とポリトープを区別する立場に従い、正ポリトープという表現を用いる。

以下の6種がある。

多胞体の名称	構成胞	頂点数	対応する正多面体	シュレーフリ記号	双対
正五胞体	正四面体	5	正四面体	{3,3,3}	正五胞体（自己双対）
正八胞体	立方体	16	立方体	{4,3,3}	正十六胞体
正十六胞体	正四面体	8	正八面体	{3,3,4}	正八胞体
正二十四胞体	正八面体	24	（無し）	{3,4,3}	正二十四胞体（自己双対）
正百二十胞体	正十二面体	600	正十二面体	{5,3,3}	正六百胞体
正六百胞体	正四面体	120	正二十面体	{3,3,5}	正百二十胞体

この場合のシュレーフリ記号は、{構成胞の面の形,構成胞の一つの頂点に入る辺（または面）の数,一つの辺に入る面（または胞）の数}という形となっている。

正多面体と比べると1つ増えており、上位互換のようになっているが、五次元以上では逆に3つに減ってしまう。この辺、四次元は正ポリトープに関してある種の究極を成している。

正多面体を記述する際に用いられるシュレーフリ記号は、他の次元の正ポリトープへも応用される。線分の場合は{}、正n角形の場合は{n}、正多胞体の場合は上記の通り、そして点の場合は英語版Wikipediaによれば()となる。

一次元版は1種類しか無いが、一次元図形自体が線分だけなため、正多角形の∞種よりある意味重い1種かもしれない。

点の場合は、ファセット（多角形における辺、多面体における面に相当する要素）の解釈に困る点と、シュレーフリ記号による表現法が例外的な点により、正ポリトープに含めて良いかどうかは不安に思う所であるが、一応含まれているようである？

五次元以上における正ポリトープは3種しかないが、こられは正四面体、立方体、正八面体に相当するものである。この3種の一般次元版は標準正多胞体（標準正ポリトープ？）と呼ばれている。3種それぞれの一般次元版は以下のように呼ばれている。

名称	零次元版	一次元版	二次元版	三次元版	四次元版	n次元版の頂点数
正単体(α体)	点	線分	正三角形	正四面体	正五胞体	n+1
正軸体(β体)	？	線分	正方形	正八面体	正十六胞体	2n
正測体(γ体/超立方体)	点	線分	正方形	立方体	正八胞体	2^n

ここで、我々は普段「正四面体・立方体・正八面体」という順番で覚えているため、立方体がβ、正八面体がγとなりそうに思える所であるが、逆である点に注意。

αの右下に小さい3を付けて正四面体を表したりする。

零次元の正軸体の解釈は不明。

正十二面体や正二十面体に相当する図形も四次元までなら有るため、それらの一般次元名もあれば少し便利そうだが不明。なおδ体に相当する表現は、n-1次元の正測体によるn次元空間充填形を表すものとして用いられている。