掛け算

かけざん

数字・数式同士を掛ける計算。

概要

数値あるいは数式同士を掛け合わせる計算のことで、その結果は「積」と呼ばれる。

AとBを掛け合わせるとは、実数においてはB個のAを足し合わせる事を意味する。

「乗法」「乗算」とも呼ばれる。

逆演算は割り算。

演算子には「×」が用いられ、これは足し算の演算子「+」を45°傾けただけのものとなっている。

「・」が用いられる事もあり、数値同士以外の場合は演算子を省略する事でも表現される。

プログラミングにおいては大抵「*（半角のアスタリスク）」で代用される。

ベクトルにおいては、×と・が別々の計算を表しており、前者は外積、後者は内積と呼ばれ、×を「クロス」、・を「ドット」と読んだりする。

行列同士の掛け算は、演算子を用いずにABのように表現され、「Aの列数＝Bの行数」かつ「Aの行列＝Bの列数」の場合にのみ定義されている。

整数や複素数における掛け算には交換法則や結合法則が成り立つが、足し算とは異なり、ベクトルや行列や四元数などでは成り立たない場合もある。

整数で交換法則が成り立つ事を理解するには、物体を以下のように並べる方法がある。

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これは見る方向によって、3×5にも5×3にもなる。

足し算を繰り返したものが掛け算であるのに対し、掛け算を繰り返すと冪乗（べき乗 / 冪 / 累乗）となる。

この辺の話はハイパー演算子という概念でまとめられており、足し算はhyper1、掛け算はhyper2、冪乗はhyper3と表現される。

足し算の場合、正の数を足せば必ず増加し、負の数を足せば必ず減少したが、掛け算の場合は、正でも1未満の数を掛けると減少し、更に掛けられる数が負の数ならば増加と減少が逆転する。

例えば、1に対して2を掛ければ2となり増加となるが、0.5を掛ければ0.5となり減少となり、また、-1に対して2を掛ければ-2となり現象、0.5を掛ければ-0.5となり増加となる。

論理演算や集合におけるANDと結び付けられ、結果をそれぞれ論理積、積集合と言ったりする。

実際、AND⇔掛け算、真⇔1、偽⇔0のように置き換えても結果が一致している。

真⇔∞、偽⇔1でも一致する。

慣用的には、同人におけるカップリングの事を指す事もある。

この場合は大抵、交換法則は成り立たない。

例えば、A×Bという表現だけがある場合なら、単にAとBによるカップリングを意味するが、ここでB×Aという表現が現れると、B×Aは一般的に「Bが攻めでAが受け」という意味合いとなり、対してA×Bにはその逆の意味合いが生まれる。

「人外×人間」「人間×人外」においてはまた別の定義がなされている。