足し算

たしざん

足す、合わせる計算。

概要

対象の数値や数式同士を足す、合わせて数を増やす、増える計算。

「加法」「加算」とも呼ばれ、その結果を「和」と言い、演算子には「+」が用いられる。

整数や複素数のみならず、ベクトルや行列においても交換法則・結合法則が成り立つ。

逆演算は引き算。

足し算においては0に影響力が無く、A+0=A=0+Aである。

この性質により、0は加法単位元（足し算に関する単位元）と呼ばれる。

ベクトルの場合は正確には零ベクトル（要素が全て0のベクトル）、行列なら零行列（要素が全て0の行列）が加法単位元となる。

単に単位元と言うと、1が掛け算に関する単位元だったりするので注意が要る。

「単位」という表現は「単位体積あたり」「単位ベクトル」など、むしろ1に通じる意味合いで使われる事が多い。

A-0=Aでもあるが、0-A=-Aであるため、引き算に関する単位元とは言えないが、右単位元であるとは言われる。

また、プラスとマイナスを反転させた数を反数と言うが、反数との足し算は、加法単位元である0になる。

つまりA+(-A)=0である。

この性質により、反数は「足し算に関する逆元」と呼ばれる。

ベクトルや行列においては、要素数や行数・列数が一致しているもの同士の場合にのみ定義されている。

掛け算とは異なり、スカラーとの足し算も定義されていない。

他の計算にも言えることだが、足し算は同じ単位(助数詞)が統一されてなければ足すことが出来ない。

例として、人間1人とペット1匹を足すことは出来ないのである。

論理における足し算

論理演算や集合におけるORと結び付けられ、結果をそれぞれ論理和、和集合と言ったりする。

ただAND⇔掛け算の場合とは異なり、OR⇔足し算、真⇔1、偽⇔0の置き換えでは、1+1の場合が2となるため完全な一致はしない。

真⇔∞と置き換えた場合は一致するが、こちらは掛け算については0×∞が不定形となり一致しなくなる。

足し算をORと見た時、ANDに相当する演算は、用途によって幾つか考えられる。

真を1、偽を0とする見方は割合や確率と通じるものがあるが、この場合では「1-((1-a)+(1-b))」が相当し、式を簡単にすれば「a+b-1」つまり「足して1を引く」となる。

この方式は「焼き込み(リニア)」と呼ばれる合成モードでも使用されている（後述）。

一方、通常の実数の範囲では真⇔∞、偽⇔0のように見た方が合う事もある。

これに当てはまる代表としては「逆数の足し算の逆数」があり、これは並列抵抗の合成を求める時の計算である。

抵抗をコンダクタンスとして見た場合は逆に、並列は足し算となり、直列はこの計算となる。

式で書くと「1/(1/a+1/b)=ab/(a+b)」であり複雑であるが、これを平行の記号を演算子として用いて「a∥b」と表現する事がある。

対して、掛け算をANDと見た時も、ORに相当する演算が幾つか考えられる。

割合などの場合では「1-(1-a)(1-b)」が相当し、式を簡単にすれば「a+b-ab」となる。

この方式は「スクリーン」と呼ばれる合成モードでも使用されている。

合成モードにおける加算

色の値を足し算し、最大値を超えたら最大値に合わせる、という処理となっている。

結果は必ず元と同じか明るくなり、デジタル8色同士ならばORと同じ働きとなる。

同様の処理に先述のスクリーンや比較(明)があるが、これらと比べると明るくなり易く、それ以上に白飛びが起こり易い。

覆い焼き(リニア)とも呼ばれ、対して通常の覆い焼きは、重ねる側を色反転させた上での除算となっている。

加算用のレイヤーを加算レイヤーと言う。

加算とは別に「加算(発光)」が設けられている事もある。

重ねられる側のみを色反転させた上で加算し、更に色反転を行うと減算の処理となる。

これは足し算⇔引き算的な意味合いで加算と対となる処理であり、加算の逆演算となっている。

もう一つ、OR⇔AND的な意味合いで対となるものとして、先述の焼き込み(リニア)がある。

これは実装されてない事が多めだが、「色反転したもの同士を加算して再び色反転」という処理となっており、「重ねる側のみを反転して減算」でも同じ効果が得られる。

乗算よりも暗くなり易く、黒つぶれし易い処理となっており、闇のエネルギー的なものを表現するのに使える場合もあるかもしれない。

更に焼き込み(リニア)の逆演算も考えられ、「重ねる側を色反転させて加算」となる（名称不明）。

筆算

おなじみの形で存在する。

関連タグ

四則演算	足し算　引き算　掛け算　割り算

累乗　累乗根　対数

足す　加　増加　プラス　総和　加算レイヤー　加法混色　加法定理

計算　加減　描画モード/合成モード

外部リンク

加法 - Wikipedia