三角関数

さんかくかんすう

サイン・コサイン・タンジェント。

概要

直角三角形の3つの辺の比で定義されるもので、主にサイン（sin）、コサイン（cos）、タンジェント（tan）の事である。

三角比とほぼ同義であり、三角比を角度の関数と見た場合に特にこう呼ばれる。

※以下ではピク百の仕様の都合上、「aのb乗」を「a^b」と表現している。

「正弦」とも呼ばれ、直角三角形の片方の鋭角をθとした場合、そのθと向かい合う辺の長さを、斜辺の長さで割った値がsinθと表現される。

例えばsin30°=1/2であり、sin0°=0である。

直角三角形は斜辺が常に一番長いため、sinθの値は、θが幾つであっても-1～1の範囲しか取らない。

y=sin(x)として平面上で表現すると、一般的な波のような形となる。

この形は「正弦曲線」「サインカーブ」などと呼ばれ、そういう形の波は「正弦波」「サイン波」などと呼ばれる。

sin(x)のn乗は通常、sin(x)^nでは無くsin^n(x)と表現される。

ただし、sin^-1(x)とした場合は大抵、後述の逆三角関数の意味合いとされるため注意が要る。

θと隣り合う斜辺でない方の辺の長さを、斜辺の長さで割ったものであり、「余弦」とも呼ばれる。

y=cos(x)の形は、y=sin(x)が少しずれただけのものであるが、(x,y)=(cosθ,sinθ)とすると円を描く事ができ、(x,y)=(a×cosθ,b×sinθ)ならば（長径がx軸かy軸に平行な）楕円となる。

sinは奇関数、cosは偶関数となっている。

θに向かい合う辺を、隣り合う斜辺でない辺で割ったものであり、「正接」とも呼ばれる。

y=tan(x)は、-∞から+∞へ何度も走るような形となっている。

sin、cos、tanがどことどこの比なのかの覚え方としては、下図のように、それぞれの頭文字であるs、c、tの筆記体の形になぞらえたものが有名。

各々、割る数と割られる数を逆にしたものとして、cosec（csc、コセカント、余割）、sec（セカント、正割）、cot（コタンジェント、余接）も存在するが、普通は使われない。

三角関数の逆関数は逆三角関数と呼ばれ、各々は元の関数に「アーク」を接頭した名でよく呼ばれる。

sinの逆関数なら「アークサイン」と呼ばれ、arcsin、asin、sin^-1などと表記される。

指数関数とは「e^iθ=cos(θ)+i×sin(θ)」という関係があるとされる（オイラーの公式）。

これに基づけば、θを複素数に拡張する事により、sinやcosは-1～1の範囲外の値も取る事ができるようになる。

これを変形するとsin(θ)=(e^iθ-e^-iθ)/2i、cos(θ)=(e^iθ+e^-iθ)/2となる。

これに対し、「e^θ=cosh(θ)+sinh(θ)」で表現されるsinhやcoshは双曲線関数と呼ばれる。

だいたいの公式は以下から出て来るため、物によっては導き方さえ理解しておけば良い場合もある。