カタランの立体
かたらんのりったい
概要
半正多面体の双対として知られる多面体であり、アルキメデス双対とも言う。以下の13種がある。
| 名称 | 頂数 | 辺数 | 面数 | 面形 | 頂形 | 双対 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 菱形十二面体 | 14 | 24 | 12 | 4(菱形) | 3と4 | 立方八面体 | 等面菱形多面体。単独で空間充填可能。 |
| 菱形三十面体 | 32 | 60 | 30 | 4(菱形) | 3と5 | 二十・十二面体 | 等面菱形多面体。 |
| 凧形二十四面体 | 26 | 48 | 24 | 4(凧形) | 3と4 | 斜方立方八面体 | |
| 凧形六十面体 | 62 | 120 | 60 | 4(凧形) | 3と4と5 | 斜方二十・十二面体 | |
| 三方四面体 | 8 | 18 | 12 | 3(二等辺三角形) | 3と6 | 切頂四面体 | |
| 四方立方体 | 14 | 36 | 24 | 3(二等辺三角形) | 4と6 | 切頂八面体 | 別名：四方六面体、六方四面体 |
| 三方八面体 | 14 | 36 | 24 | 3(二等辺三角形) | 3と8 | 切頂立方体 | |
| 五方十二面体 | 32 | 90 | 60 | 3(二等辺三角形) | 5と6 | 切頂二十面体 | |
| 三方二十面体 | 32 | 90 | 60 | 3(二等辺三角形) | 3と10 | 切頂十二面体 | |
| 二重二方十二面体 | 26 | 72 | 48 | 3(三角形) | 4と6と8 | 切頂立方八面体 | イメージ的には四方菱形十二面体。別名：六方八面体 |
| 二重二方三十面体 | 62 | 180 | 120 | 3(三角形) | 4と6と10 | 切頂二十・十二面体 | イメージ的には四方菱形三十面体。別名：六方二十面体 |
| 五角二十四面体 | 38 | 60 | 24 | 5(五角形) | 3と4 | 変形立方八面体 | 鏡像の別有り。「五角形～」ではない点に注意。 |
| 五角六十面体 | 92 | 150 | 60 | 5(五角形) | 3と5 | 変形二十・十二面体 | 鏡像の別有り。 |
正多面体と半正多面体が紀元前から語られていたのに対し、この立体について初めて記述されたのは1865年との事。
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、半正多面体が、全ての頂点形状が等しく正多角形で構成されるのに対し、こちらは全ての面が等しく正角錐状の頂点で構成されている。「頂点が正角錐状」というのは「二面角が等しい」とたぶん等価。イメージ的には、半正多面体に対して「半正多角体」とでも呼べそうな立体である（ただ、この呼称には難点が多いかもしれない）。
半正多面体が球に内接する（＝外心を持つ）が外接はしないのに対し、こちらは球に外接する（＝内心を持つ）が内接はしない。構成面もまた内心を持っており、これは内接球との接点でもある。そしてそれを結ぶと双対の半正多面体になる（重心は結んでもダメ）。
パッと見では解り辛いが、正多面体や半正多面体同様、長さ比も角度もキチッと決まる（トポロジー的な自由度は無い）。例えば凧形二十四面体や凧形六十面体は、全ての面が合同な凧形であるというだけならば未だ自由度は残るが、二面角の条件を考慮する事で一つに定まる。
考慮しなかった場合の呼び名は不明だが、凧形六十面体の場合、面が菱形になるよう変形すると菱形六十面体となり、○方○面体の場合、面が正三角形になるよう変形するとダ・ヴィンチの星となる。
全ての面が完全に同じ条件であるため、サイコロ向きである。サイコロとしては、二面角条件を満たさない亜種でも凸型であれば不足は無い。面の数は、二重二方三十面体が一番多く120枚だが、面がちと細長過ぎるかもしれない。次点は60枚で、五方十二面体、三方二十面体、凧形六十面体、五角六十面体がこれに当たる。この内、三方二十面体はまた面が細長いが、他は特に問題無さそう。
カタランの立体同士の関係や、半正多面体も巻き込んだ関係については「半正多面体」の方にまとめる。
名称について
切頂○面体は全て接頭辞が「切頂」であるのに対し、その双対は三方だったり四方だったり二重二方だったりと一定しておらず微妙に面倒臭いが、これは恐らく英語由来。英語でも切頂がTruncatedなのに対し、三方、四方、五方、二重二方はそれぞれTriakis、Tetrakis、Pentakis、Disdyakisとなっている。
ただ、英語ではこれらをKis-に統一した名前も「Symmetries of Things」という書籍で記述されている模様。
二重二方は六方～という呼び方もされるが、二重二方の方が色々と理に叶っている。Kisrhombicという表現に対しては、普通に四方菱形と呼んでも間違いでは無いかもしれない。
六方という呼び方は、解り易い名前ではあるが、三角形に六角錐を張り付けるというイレギュラーな見方をしており、Kis-には該当しない。同じ方法では八方立方体（八方六面体）、十方十二面体とも呼べそうである。
菱形十二面体と菱形三十面体
これらは準正多面体の双対であるだけあって、カタランの立体の中でも特に美しい性質が見られる。準正多面体と同様、実は辺周りの形状が合同であり、また、二面角を考慮せずともだいたい一つに決まる。
しかし、この2種だけをまとめた呼び名は不明。この2種は共に等面菱形多面体にも分類されているが、等面菱形多面体はこの2種が全てではない。残りの2種は菱形十二面体第2種と菱形二十面体であり、これらは菱形三十面体から一部を取り除く事で作る事が出来る。菱形三十面体→菱形二十面体→菱形十二面体第2種という二段変身をする。
カタランの立体の性質を満たす他の立体
アルキメデスの角柱・反角柱が、半正多面体の条件を満たしつつ無数に存在しているのと同様に、カタランの立体の条件を満たす双角錐・反双角錐も無数に存在するが、呼び名は不明。「カタランの双角錐」「カタランの反双角錐」とでも言った所か。どちらも角数が多くなると細長くなるため、サイコロとしては普通の正双角錐や正反双角錐の方が向く。
ミラーの立体が半正多面体の性質を満たすのと同様、その双対である擬凧形二十四面体もカタランの立体の条件を満たす。ただ、ミラーの立体の頂点の場合と同様、全ての面が合同ではあっても、多面体の中での立ち位置としては2種類あるため、サイコロとして正確に機能するかが心配になる所（重心の位置が変化しない点に注意すると、真空中では大丈夫かもしれないが、空気抵抗の影響はどうだろうか…）。