半正多面体の双対として知られる多面体であり、アルキメデス双対とも言う。以下の13種がある。
- 菱形十二面体(単独で空間充填可能。双対：立方八面体)
- 菱形三十面体(双対：二十・十二面体)
- 凧形二十四面体(双対：斜方立方八面体)
- 凧形六十面体(双対：斜方二十・十二面体)
- 三方四面体(双対：切頂四面体)
- 四方六面体(なぜか四方立方体とは呼ばれてない様子。双対：切頂八面体)
- 三方八面体(双対：切頂立方体)
- 五方十二面体(双対：切頂二十面体)
- 三方二十面体(双対：切頂十二面体)
- 二重二方十二面体(別名：六方八面体。同じ方法では八方六面体とか四方菱形十二面体とも呼べそう。双対：切頂立方八面体)
- 二重二方三十面体(別名：六方二十面体。同じ方法では十方十二面体とか四方菱形三十面体とも呼べそう。双対：切頂二十・十二面体)
- 五角二十四面体(鏡像の別有り。双対：変形立方八面体)
- 五角六十面体(鏡像の別有り。双対：変形二十・十二面体)
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、半正多面体が、全ての頂点形状が等しく正多角形で構成されるのに対し、こちらは全ての面が等しく正角錐状の頂点で構成されている。「頂点が正角錐状」というのは「二面角(面と面が辺で繋がる角度)が等しい」と多分等価。半正多“角”体とでも呼べそうな立体である。
また、半正多面体が球に内接するが外接はしないのに対し、カタランの立体は球に外接するが内接はしない。
カタランの立体はいずれも構成面が内心を持っており、これを結ぶと双対の半正多面体になる(重心は結んでもダメ)。
パッと見では解り辛いが、トポロジー的な自由度は無く、正多面体や半正多面体同様、長さ比も角度もキチッと決まる。
例えば凧形二十四面体や凧形六十面体は、全ての面が合同な凧形であるというだけならば未だ自由度は残るが、二面角の条件を考慮する事で一つに定まる。考慮しなかった場合の呼び名は不明だが、○方○面体の場合、面が正三角形になるよう変形したバージョンがダ・ヴィンチの星となる。
全ての面が対等であるためサイコロ向きである。サイコロとしては、二面角条件を満たさない亜種でも凸型であれば不足は無い。面の数は、二重二方三十面体が一番多く120だが、面がちと細長いかもしれない。次点では凧形六十面体と五角六十面体の60で、こちらは特に問題無さそう。
カタランの立体同士の関係については半正多面体の方にまとめる。
カタランの立体の性質を満たす他の立体
ミラーの立体が半正多面体の性質を満たすのと同様、その双対である擬凧形二十四面体はカタランの立体の条件を満たす。
アルキメデスの角柱とアルキメデスの反角柱が、半正多面体の条件を満たしつつ無数に存在しているのと同様に、カタランの立体の条件を満たす双角錐と反双角錐も無数に存在するが、呼び名は不明。カタランの双角錐、カタランの反双角錐とでも言った所か。どちらも角数が多くなると細長くなるため、サイコロとしては普通の正双角錐や正反双角錐の方が向く。
菱形十二面体と菱形三十面体
これらは準正多面体の双対であるだけあって、カタランの立体の中でも特に美しい性質が見られるが、この2種だけをまとめた呼び名は不明。準正多面体と同様、辺周りの形状が合同であり、また、二面角を考慮せずともだいたい一つに決まる。
等面菱形多面体にも分類されているが、等面菱形多面体はこの2種が全てではない。残りの2種は菱形十二面体第2種と菱形二十面体であり、これらは菱形三十面体から一部を取り除く事で作る事が出来る。菱形三十面体→菱形二十面体→菱形十二面体第2種という二段変身をする。
