正多面体を半分にぶった切ったもの…ではなく、正多面体の条件から「全ての面が同じ」という点を除く事で作られる多面体。アルキメデスの立体(Archimedean solid)とも言う。
以下の13種がある。
- 立方八面体(立方体＋正八面体というイメージ。別名：異相双三角台塔、ベクトル平衡体。双対：菱形十二面体)
- 二十・十二面体(正十二面体＋正二十面体というイメージ。別名：異相双五角丸塔、二十面十二面体。双対：菱形三十面体)
- 斜方立方八面体(立方八面体＋菱形十二面体というイメージ。別名：菱形立方八面体、小菱形立方八面体、切頂菱形十二面体、同相双四角台塔柱。双対：凧形二十四面体)
- 斜方二十・十二面体(中ボス。二十・十二面体＋菱形三十面体というイメージ。別名：菱形二十・十二面体、小菱形二十・十二面体、切頂菱形三十面体。双対：凧形六十面体)
- 切頂四面体(「切頂」自体の別名：切頭、切隅。双対：三方四面体)
- 切頂立方体(別名：切頂六面体。双対：三方八面体)
- 切頂八面体(単独で空間充填可能。双対：四方六面体)
- 切頂十二面体(双対：三方二十面体)
- 切頂二十面体(サッカーボールの形として馴染み深い。双対：五方十二面体)
- 切頂立方八面体(別名：斜方切頂立方八面体、大菱形立方八面体。双対：二重二方十二面体)
- 切頂二十・十二面体(ラスボス。文字通りの切頂では作れない。別名：斜方切頂二十・十二体、大菱形二十・十二面体。双対：二重二方三十面体)
- 変形立方八面体(鏡像の別有り。別名：変形立方体、ねじれ立方体など。双対：五角二十四面体)
- 変形二十・十二面体(超裏ボス。鏡像の別有り。別名：変形十二面体、ねじれ十二面体など。双対：五角六十面体)
ミラーの立体(擬斜方立方八面体)とアルキメデスの角柱とアルキメデスの反角柱も条件を満たすが、一般的にはこれに含めない。
立方八面体と二十・十二面体は、辺周りが合同と言う性質を持ち、準正多面体にも分類されている(準正多面体はこの2種のみである)。
このような順番で、準正→斜方→切頂→切頂準正→変形と並べると覚え易いのではないか。
菱形～というのは、菱形十二面体や菱形三十面体の要素を組み込んでいるという意味だと思われる。斜方は菱形の別訳である。切頂立方八面体と切頂二十・十二面体は日本では斜方が付けらえる事が多いが、意味は特に無さげ。
正方形は長方形や菱形の一種とされるが、正多面体は半正多面体に含まれない様子。
美しい立体ではあるが、面の形が合同でないため、サイコロにしようとすると出る目の確率に偏りが出来てしまう。
半正多面体の双対はカタランの立体と言う。これと対比するとまた面白い性質が見られる。
半正多面体同士の関係
カタランの立体に関してもまとめてます。
頂点を切る
正四面体 ⇒ 切頂四面体 ⇒ 正八面体
立方体 ⇒ 切頂立方体 ⇒ 立方八面体
正八面体 ⇒ 切頂八面体 ⇒ 立方八面体
正十二面体 ⇒ 切頂十二面体 ⇒ 二十・十二面体
正二十面体 ⇒ 切頂二十面体 ⇒ 二十・十二面体
立方八面体 ⇒ 切頂立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体
二十・十二面体 ⇒ 切頂二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体
面をねじる
正四面体 ⇒ 正二十面体 ⇒ 正八面体
立方体、正八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 立方八面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 二十・十二面体
立方八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体
二十・十二面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体
面を吊る
正四面体 ⇒ 三方四面体 ⇒ 立方体
立方体 ⇒ 四方六面体 ⇒ 菱形十二面体
正八面体 ⇒ 三方八面体 ⇒ 菱形十二面体
正十二面体 ⇒ 五方十二面体 ⇒ 菱形三十面体
正二十面体 ⇒ 三方二十面体 ⇒ 菱形三十面体
菱形十二面体 ⇒ 二重二方十二面体 ⇒ 凧形二十四面体
菱形三十面体 ⇒ 二重二方三十面体 ⇒ 凧形六十面体
頂点をねじる
正四面体 ⇒ 正十二面体 ⇒ 立方体
立方体、正八面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 菱形十二面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 菱形三十面体
菱形十二面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 凧形二十四面体
菱形三十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 凧形六十面体
関連タグ
カタランの立体 正多面体 一様多面体 角柱 反角柱 正多角形
