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微積分

びせきぶん

微分と積分の総称。Calculus。
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概要

微分積分の総称。微分積分とも。
共に広い応用範囲を持ち、代表的なものとしては距離速度関係がある。
距離と速度の関係と言えば「距離=速度×時間」があるが、これは「速度が一定」という特殊な場合でしか成り立たないし、「速度=距離÷時間」で求まるのはあくまで平均の速度である。
これに対し、微分を用いれば瞬間速度を求める事ができ、積分を用いれば、速度が変わる場合でも距離を求める事ができる。
体積表面積の間にもこういう関係が存在している。

微分も積分も、関数に対して行われる操作となっており、結果も関数となる。
微分は関数の値の変化を見る操作であり、これは関数の接線傾きとなる。
積分は関数の値の(特定の範囲での)合計を見る操作であり、これは関数が作る領域面積となる。
これらは一見無関係であるが、実は互いに逆の操作となっている。
先程の距離と速度の例の場合、割り算が微分に、掛け算が積分に置き換わる形となるが、割り算の方が掛け算よりも大抵難しいのとは逆に、積分の方が微分よりも大分難しい。

計算するにあたっては、微分するにも積分するにも「無限小さい」という概念が出て来て、これは極限(lim、リミット)という計算の中で扱われる。
積分については数列の知識も必要となる。
ただ、これらの計算自体は毎回行う必要は無く、結果の公式暗記して組み合わせて利用される事が殆ど。
式が不明なデータの羅列を扱う場合や、積分の式が出せない場合においては、近似的に極限の計算を行い、微分や積分の結果の概形を求めたりするが、この辺は現代では通常コンピュータ任せとなる。

微積分においては、dという文字を特殊な意味合いで用い、積分では更にインテグラル)という記号も用いる。
例えば、dy/dxと書いて「yをxで微分したもの」を意味し、∫ydxと書いて「yをxで積分したもの」を意味する。

派生など

通常の微積分は、(独立な)変数が1つである場合を対象としており、これが2つ以上の場合は偏微分やら重積分やらというものが出て来る。
微積分を含んだ方程式微分方程式と呼ばれ、カオス理論と密接(積分を含んでる場合も、通常は微分のみを用いた形に置き換える事ができる)。
微積分が関数を対象としているのに対し、数列を対象とした類似のものは、微分に対しては差分、積分に対しては和分と呼ばれる事がある。

微分・積分の関係になってるものの例

変数→の積分←の微分
時間距離速度
時間速度加速度
距離時間1/速度
時間エネルギー仕事・電力量仕事率・電力
時間運動量(=質量×速度)・力積
距離エネルギー・仕事
時間電荷電流
時間磁束電圧
距離電圧・電位電界の強さ
半径の面積円周長さ
半径球の体積球の表面積
高さ立体を「高さ」まで切り取った部分の体積立体の「高さ」における断面積


微積分の応用

特に電気モーターの回転数を制御するインバーター回路において必要不可欠な概念である。ロボット工学を語る上では避けて通れない。

関連タグ

微分 積分 極限 解析 関数
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関連外部リンク

微分積分学 - Wikipedia

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