カタランの立体

かたらんのりったい

半正多面体の双対。全ての面が合同で、二面角が等しい多面体。

概要

半正多面体の双対として知られる多面体であり、アルキメデス双対とも言う。以下の13種がある。

名称	頂数	辺数	面数	面形	頂形	双対	備考
菱形十二面体	14	24	12	4(菱形)	3と4	立方八面体	等面菱形多面体。単独で空間充填可能。
菱形三十面体	32	60	30	4(菱形)	3と5	二十・十二面体	等面菱形多面体。
凧形二十四面体	26	48	24	4(凧形)	3と4	斜方立方八面体
凧形六十面体	62	120	60	4(凧形)	3と4と5	斜方二十・十二面体
三方四面体	8	18	12	3(二等辺三角形)	3と6	切頂四面体
四方立方体	14	36	24	3(二等辺三角形)	4と6	切頂八面体	別名：四方六面体、六方四面体
三方八面体	14	36	24	3(二等辺三角形)	3と8	切頂立方体
五方十二面体	32	90	60	3(二等辺三角形)	5と6	切頂二十面体
三方二十面体	32	90	60	3(二等辺三角形)	3と10	切頂十二面体
二重二方十二面体	26	72	48	3(三角形)	4と6と8	切頂立方八面体	イメージ的には四方菱形十二面体。別名：六方八面体
二重二方三十面体	62	180	120	3(三角形)	4と6と10	切頂二十・十二面体	イメージ的には四方菱形三十面体。別名：六方二十面体
五角二十四面体	38	60	24	5(五角形)	3と4	変形立方八面体	鏡像の別有り。「五角形～」ではない点に注意。
五角六十面体	92	150	60	5(五角形)	3と5	変形二十・十二面体	鏡像の別有り。

正多面体と半正多面体が紀元前から語られていたのに対し、この立体について初めて記述されたのは1865年との事。

半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、半正多面体が、全ての頂点形状が等しく正多角形で構成されるのに対し、こちらは全ての面が等しく正角錐状の頂点で構成されている。「頂点が正角錐状」というのは「二面角が等しい」とたぶん等価。イメージ的には、半正多面体に対して「半正多角体」とでも呼べそうな立体である（ただ、この呼称には難点が多いかもしれない）。

半正多面体が球に内接する（＝外心を持つ）が外接はしないのに対し、こちらは球に外接する（＝内心を持つ）が内接はしない。構成面もまた内心を持っており、これは内接球との接点でもある。そしてそれを結ぶと双対の半正多面体になる（重心は結んでもダメ）。

パッと見では解り辛いが、トポロジー的な自由度は無く、正多面体や半正多面体同様、長さ比も角度もキチッと決まる。例えば凧形二十四面体や凧形六十面体は、全ての面が合同な凧形であるというだけならば未だ自由度は残るが、二面角の条件を考慮する事で一つに定まる。

考慮しなかった場合の呼び名は不明だが、凧形六十面体の場合、面が菱形になるよう変形すると菱形六十面体となり、○方○面体の場合、面が正三角形になるよう変形するとダ・ヴィンチの星となる。

全ての面が完全に同じ条件であるため、サイコロ向きである。サイコロとしては、二面角条件を満たさない亜種でも凸型であれば不足は無い。面の数は、二重二方三十面体が一番多く120だが、面がちと細長過ぎるかもしれない。次点では凧形六十面体と五角六十面体の60で、こちらは特に問題無さそう。

カタランの立体同士の関係や、半正多面体も巻き込んだ関係については「半正多面体」の方にまとめる。

名称について

切頂○面体は全て接頭辞が「切頂」であるのに対し、その双対は三方だったり四方だったり二重二方だったりと一定しておらず微妙に面倒臭いが、これは恐らく英語由来。英語でも切頂がTruncatedなのに対し、三方、四方、五方、二重二方はそれぞれTriakis、Tetrakis、Pentakis、Disdyakisとなっている。

ただ、英語ではこれらをKis-に統一した名前も一部書籍で記述されている模様。

二重二方は六方～という呼び方もするが、二重二方の方が色々と綺麗に整理が付く。Kisrhombicという表現に対しては、四方菱形と呼んでも間違いでは無いかもしれない。

六方という呼び方は、三角形に六角錐を張り付けるというイレギュラーな見方をしており、Kis-には該当しない。同じ方法では八方立方体（八方六面体）、十方十二面体とも呼べそうである。また、二重二方に対しては二重三方と呼ぶべきかもしれない。

菱形十二面体と菱形三十面体

これらは準正多面体の双対であるだけあって、カタランの立体の中でも特に美しい性質が見られる。準正多面体と同様、実は辺周りの形状が合同であり、また、二面角を考慮せずともだいたい一つに決まる。

しかし、この2種だけをまとめた呼び名は不明。この2種は共に等面菱形多面体にも分類されているが、等面菱形多面体はこの2種が全てではない。残りの2種は菱形十二面体第2種と菱形二十面体であり、これらは菱形三十面体から一部を取り除く事で作る事が出来る。菱形三十面体→菱形二十面体→菱形十二面体第2種という二段変身をする。