概要
曲面を持つもの（球、円錐、円柱、トーラス、角球など）は含まないらしい。
最小の多面体は四面体であり、四つの頂点と四つの三角形から成る。
多角形の三次元版であるが、多角形は頂点の数と辺の数が常に等しい(n角形＝n辺形である)のに対し、多面体の場合は頂点の数、面の数、そして辺の数がだいたいバラバラである。
正多面体(プラトンの立体)
正多角形の三次元版であり、1種類の正多角形で構成され、全ての頂点の形も等しく凸型。
正多角形が∞種存在するのに対し、こちらは正四面体、立方体(正六面体)、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種しか無い。
この内、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体は双対関係(後述)を成している。
角錐とか
学校では、立方体と直方体の次に習う多面体が角錐と角柱であろう。これらは底面はどんな多角形でも良い。
このような多面体で基本的なものは他に、反角柱(ねじれ角柱)と反双角錐(ねじれ双角錐)がある。後者は10面ダイスで有名かもしれない。ただこれらの場合、正多角形以外を底面とした場合の例は見当たらない。
双角錐は、2つの角錐に切り分けられるのであまり基本的では無いかもしれないが、角柱の双対という性質がある。
双対関係
立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になり、正八面体の各面の中心を結ぶと立方体に戻る。このように立方体と正八面体は表と裏、陰と陽のような、「まさに双対！」という関係にある。本当に双対関係と言う。
同様の関係は正十二面体と正二十面体の間にもある。正四面体の場合は自分自身が現れる(自己双対)。
半正多面体にも双対多面体は存在し、カタランの立体と言うが、同様の操作を行っても得られない。正多面体の場合は特に特殊な事例であり、バイセクシャル同士のカップルのようなものである。
双対多面体においては、面の数と頂点の数、構成面の角数と頂点に入る辺の数とが入れ替わっており、辺の数は同じである。このあたりはグラフ理論や電気回路にも密接に関わっており、これらにも同様の双対関係が存在している。多面体の場合は一般的に、更に長さや角度なども考慮せねばならない。
半正多面体(アルキメデスの立体)
正多面体の、正多角形を複数種類使ったバージョン。全13種。
サッカーボールの形としてよく見られる切頂二十面体もこの一種。
ミラーの立体とアルキメデスの角柱とアルキメデスの反角柱も条件は満たすが、一般的には含まれない様子。
準正多面体は半正多面体の一種であり、別名では無い様子。
カタランの立体
半正多面体の双対多面体であり、半正多面体と同様全13種。
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、長さ比や角度もちゃんと一つに決まる。
全ての面が対等なのでサイコロ向き。120面まである。
ミラーの立体の双対と、アルキメデスの角柱＆アルキメデスの反角柱の双対となるような双角錐＆反双角錐も条件を満たすが、一般的には含まれない様子。
星型正多面体
三次元版の星型正多角形。小星型十二面体、大星型十二面体、大十二面体、大二十面体の4種。この内、小星型十二面体と大十二面体、大星型十二面体と大二十面体が双対となっている。
Wikipediaによれば、元の図形は星型多面体には含まれるが星型正多面体には含まれないっぽい。
この辺の定義はいまいちはっきりしてない感じなので、真に受けない方が無難。
デルタ多面体
正三角形のみで出来ている凸型多面体。正四面体・正八面体・正二十面体も含めて全8種。デルタ十二面体が意外な強敵。双対は、どうなんだろう。
関連イラスト
関連タグ
正多面体 半正多面体 カタランの立体 デルタ多面体 星型多面体 星型正多面体 一様多面体 角錐 角柱 双角錐 反角柱 反双角錐
