正多面体を半分にぶった切ったもの…ではなく、正多面体の条件から「全ての面が同じ」という点を除く事で作られる多面体。アルキメデスの立体とも言う。紀元前から知られており、以下の13種がある。
- 立方八面体(準正多面体。立方体＋正八面体というイメージ。別名：異相双三角台塔、ベクトル平衡体。双対：菱形十二面体)
- 二十・十二面体(準正多面体。正十二面体＋正二十面体というイメージ。別名：異相双五角丸塔、二十面十二面体。双対：菱形三十面体)
- 斜方立方八面体(立方八面体＋菱形十二面体というイメージ。別名：菱形立方八面体、小菱形立方八面体、切頂菱形十二面体、同相双四角台塔柱。双対：凧形二十四面体)
- 斜方二十・十二面体(中ボス。二十・十二面体＋菱形三十面体というイメージ。別名：菱形二十・十二面体、小菱形二十・十二面体、切頂菱形三十面体。双対：凧形六十面体)
- 切頂四面体(「切頂」自体の別名：切頭、切隅。双対：三方四面体)
- 切頂立方体(別名：切頂六面体。双対：三方八面体)
- 切頂八面体(単独で空間充填可能。双対：四方六面体)
- 切頂十二面体(双対：三方二十面体)
- 切頂二十面体(サッカーボールの形として馴染み深い。双対：五方十二面体)
- 切頂立方八面体(文字通りの切頂では作れない。別名：斜方切頂立方八面体、大菱形立方八面体。双対：二重二方十二面体)
- 切頂二十・十二面体(ラスボス。別名：斜方切頂二十・十二体、大菱形二十・十二面体。双対：二重二方三十面体)
- 変形立方八面体(鏡像の別有り。別名：変形立方体、ねじれ立方体など。双対：五角二十四面体)
- 変形二十・十二面体(超裏ボス。鏡像の別有り。別名：変形十二面体、ねじれ十二面体など。双対：五角六十面体)
このような順番で、準正→斜方→切頂→切頂準正→変形と並べると覚え易いのではないか。
semi-regular polyhedronの訳とされるが、semi-regular polyhedronと言うと凸型でないものも含まれてる様子があるので、英語の上ではArchimedean solid(アルキメデスの立体)と言った方が恐らく無難(詳細は正多面体の頁で)。
正多面体の次に美しい多面体として名高いが、面周りが合同でないため、サイコロにしようとすると出る目の確率に偏りが出来てしまう。
長方形や菱形は正方形も含むとされるが、半正多面体は正多面体は含まない様子。
双対はカタランの立体。こちらはサイコロに向いている。
菱形～というのは、菱形十二面体や菱形三十面体の要素を組み込んでいるという意味だと思われる。斜方は菱形の別訳である。切頂立方八面体と切頂二十・十二面体は日本語では斜方が付けらえる事が多いが、意味は特に無さげ。
これの平面充填形バージョンはアルキメデスの平面充填形と呼ばれ、8種存在。
準正多面体
立方八面体と二十・十二面体は、準正多面体にも分類されている。
準正多面体は辺周りが合同と言う性質を持ち、この2種のみ。
半正多面体の中で切頂版が存在するのもこの2種のみであるが、正多面体の切頂版とは異なり、文字通りに頂点を切ると切り口が長方形になってしまう点には少し注意が要るかもしれない。
半正多面体は今の所、正多面体は含まないようだが、準正多面体は含むようである。
半正多面体の性質を満たす他の立体
「ミラーの立体(擬斜方立方八面体/異相双四角台塔柱)」と「アルキメデスの角柱(以下単に角柱)」と「アルキメデスの反角柱(以下単に反角柱)」も半正多面体の条件を満たすが、一般的にはこれに含めない。
これについて、角柱と反角柱は無限種があるからという理由で省かれる事があるが、ミラーの立体は1つしか無いにも関わらず省かれている。
実はミラーの立体は、全ての頂点形状が合同ではあるが、対等では無いため、角柱と反角柱以上に半正多面体に遠い。
例えば、半正多面体の頂点のどれか一つに目印を付けた場合、どの頂点に付けても結果は変わらないし、この性質は角柱と反角柱も持っているが、ミラーの立体は2通りの結果を産む。
ミラーの立体はジョンソンの立体に分類され、37というナンバーも振られている。
半正多面体同士の関係＆カタランの立体同士の関係
頂点を切る
正四面体 ⇒ 切頂四面体 ⇒ 正八面体
立方体 ⇒ 切頂立方体 ⇒ 立方八面体
正八面体 ⇒ 切頂八面体 ⇒ 立方八面体(上に同じ)
正十二面体 ⇒ 切頂十二面体 ⇒ 二十・十二面体
正二十面体 ⇒ 切頂二十面体 ⇒ 二十・十二面体(上に同じ)
立方八面体 ⇒ 切頂立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体
二十・十二面体 ⇒ 切頂二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体
面をねじる
正四面体 ⇒ 正二十面体 ⇒ 正八面体
立方体、正八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 立方八面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 二十・十二面体
(正八面体 ⇒ 正二十面体 ⇒ 立方八面体)
(立方八面体 ⇒ 変形立方八面体 ⇒ 斜方立方八面体)
(二十・十二面体 ⇒ 変形二十・十二面体 ⇒ 斜方二十・十二面体)
面を吊る
正四面体 ⇒ 三方四面体 ⇒ 立方体
立方体 ⇒ 四方六面体 ⇒ 菱形十二面体
正八面体 ⇒ 三方八面体 ⇒ 菱形十二面体(上に同じ)
正十二面体 ⇒ 五方十二面体 ⇒ 菱形三十面体
正二十面体 ⇒ 三方二十面体 ⇒ 菱形三十面体(上に同じ)
菱形十二面体 ⇒ 二重二方十二面体 ⇒ 凧形二十四面体
菱形三十面体 ⇒ 二重二方三十面体 ⇒ 凧形六十面体
頂点をねじる
正四面体 ⇒ 正十二面体 ⇒ 立方体
立方体、正八面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 菱形十二面体
正十二面体、正二十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 菱形三十面体
(立方体 ⇒ 正十二面体 ⇒ 菱形十二面体)
(菱形十二面体 ⇒ 五角二十四面体 ⇒ 凧形二十四面体)
(菱形三十面体 ⇒ 五角六十面体 ⇒ 凧形六十面体)
関連タグ
カタランの立体 正多面体 一様多面体 ジョンソンの立体 角柱 反角柱 正多角形 平面充填
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