半正多面体

はんせいためんたい

正多角形で構成された全ての頂点形状が等しい凸多面体。

概要

正多面体を半分にぶった切ったもの…ではなく、正多面体の条件から「全ての面が同じ」という点を除く事で作られる多面体。アルキメデスの立体とも言う。紀元前から知られており、以下の13種がある。

名称	頂数	辺数	面数	面形	頂形	双対	備考
立方八面体	12	24	14	3(正三角形)と4(正方形)	4	菱形十二面体	準正多面体。立方体＋正八面体というイメージ。別名：異相双三角台塔、ベクトル平衡体
二十・十二面体	30	60	32	3(正三角形)と5(正五角形)	4	菱形三十面体	準正多面体。正十二面体＋正二十面体というイメージ。別名：異相双五角丸塔、二十面十二面体
斜方立方八面体	24	48	26	3(正三角形)と4(正方形)	4	凧形二十四面体	立方八面体＋菱形十二面体というイメージ。別名：菱形立方八面体、小菱形立方八面体、切頂菱形十二面体、同相双四角台塔柱
斜方二十・十二面体	60	120	62	3(正三角形)と4(正方形)と5(正五角形)	4	凧形六十面体	中ボス。二十・十二面体＋菱形三十面体というイメージ。別名：菱形二十・十二面体、小菱形二十・十二面体、切頂菱形三十面体
切頂四面体	12	18	8	3(正三角形)と6(正六角形)	3	三方四面体	「切頂」自体の別名：切頭、切隅
切頂立方体	24	36	14	3(正三角形)と8(正八角形)	3	三方八面体	別名：切頂六面体
切頂八面体	24	36	14	4(正方形)と6(正六角形)	3	四方立方体	単独で空間充填可能。
切頂十二面体	60	90	32	3(正三角形)と10(正十角形)	3	三方二十面体
切頂二十面体	60	90	32	5(正五角形)と6(正六角形)	3	五方十二面体	サッカーボールの形として馴染み深い。
切頂立方八面体	48	72	26	4(正方形)と6(正六角形)と8(正八角形)	3	二重二方十二面体	文字通りの切頂では作れない。別名：斜方切頂立方八面体、大菱形立方八面体
切頂二十・十二面体	120	180	62	4(正方形)と6(正六角形)と10(正十角形)	3	二重二方三十面体	ラスボス。別名：斜方切頂二十・十二体、大菱形二十・十二面体
変形立方八面体	24	60	38	3(正三角形)と4(正方形)	5	五角二十四面体	鏡像の別有り。別名：変形立方体、ねじれ立方体など
変形二十・十二面体	60	150	92	3(正三角形)と5(正五角形)	5	五角六十面体	超裏ボス。鏡像の別有り。別名：変形十二面体、ねじれ十二面体など

このような順番で、準正→斜方→切頂→切頂準正→変形と並べると覚え易いのではないか。

semi-regular polyhedronの訳とされるが、semi-regular polyhedronと言うと凸型でないものも含まれてる様子があるので、英語の上ではArchimedean solid（アルキメデスの立体）と言った方が恐らく無難（詳細は「正多面体」で）。

長方形や菱形は正方形も含むとされるが、半正多面体は正多面体は含まない様子。

正多面体の次に美しい多面体として名高いが、面周りが合同でないため、サイコロにしようとすると出る目の確率に偏りが出てしまう。

双対はカタランの立体。こちらはサイコロに向いている。

平面充填形バージョンは「アルキメデスの平面充填形」と呼ばれ、8種存在。

名称について

斜方立方八面体などの「斜方」は菱形の別訳である。直訳としては「菱形立方八面体」となるが、この「菱形～」という部分は、菱形十二面体や菱形三十面体の要素を組み込んでいるという意味と解釈できる。つまり、立方体と正八面体で立方八面体となるのと同様、立方八面体と菱形十二面体で菱形立方八面体というわけである。

切頂立方八面体と切頂二十・十二面体は、日本語では斜方が付けられる事が多いが、意味は特に無さげ。後述の拡張シュレーフリ記号では切頂にあたる記号だけで済ませており、英語でも切頂に当たる語だけ付ける方が一般的の模様。

立方八面体の別名のベクトル平衡体というのは、バックミンスター・フラーによる直観的な命名で、数学的・科学的な厳密な意味は今の所不明？

立方体よりも正六面体という呼び方を重んじる流派もあり、日本語版Wikipediaでも正六面体や切頂六面体、四方六面体がメイン記事となっている。そういう立場では、立方八面体は八・六面体と呼ぶのが筋のはずだが、なぜか聞かない。

準正多面体

立方八面体と二十・十二面体は、準正多面体にも分類されている。

準正多面体は辺周りが合同という性質を持ち、この2種のみ（尤も、半正多面体に凹型を含む立場ではこの限りでは無い）。

半正多面体の中で切頂版が存在するのもこの2種のみであるが、正多面体の切頂版とは異なり、文字通りに頂点を切ると切り口が長方形になってしまう点には注意が要る。

半正多面体は今の所、正多面体は含まないようだが、準正多面体は含むようである。

半正多面体の性質を満たす他の立体

「ミラーの立体（擬斜方立方八面体/異相双四角台塔柱）」と「アルキメデスの角柱」（以下単に角柱）と「アルキメデスの反角柱」（以下単に反角柱）も半正多面体の条件を満たすが、一般的にはこれに含めない。

これについて、角柱と反角柱は無限種があるからという理由で省かれる事があるが、ミラーの立体は1つしか無いにも関わらず省かれている。

実はミラーの立体は、全ての頂点形状が合同ではあるが、対等では無いため、角柱と反角柱以上に半正多面体に遠い。

例えば、半正多面体の頂点のどれか一つに目印を付けた場合、どの頂点に付けても結果は変わらないし、この性質は角柱と反角柱も持っているが、ミラーの立体は2通りの結果を産む。

ミラーの立体はジョンソンの立体に分類され、37というナンバーも振られている。

半正多面体同士の関係＆カタランの立体同士の関係

頂点を切る

正四面体　⇒　切頂四面体　⇒　正八面体

立方体　⇒　切頂立方体　⇒　立方八面体

正八面体　⇒　切頂八面体　⇒　立方八面体(上に同じ)

正十二面体　⇒　切頂十二面体　⇒　二十・十二面体

正二十面体　⇒　切頂二十面体　⇒　二十・十二面体(上に同じ)

立方八面体　⇒　切頂立方八面体　⇒　斜方立方八面体

二十・十二面体　⇒　切頂二十・十二面体　⇒　斜方二十・十二面体

面をねじる

正四面体　⇒　正二十面体　⇒　正八面体

立方体、正八面体　⇒　変形立方八面体　⇒　立方八面体

正十二面体、正二十面体　⇒　変形二十・十二面体　⇒　二十・十二面体

(正八面体　⇒　正二十面体　⇒　立方八面体)

(立方八面体　⇒　変形立方八面体　⇒　斜方立方八面体)

(二十・十二面体　⇒　変形二十・十二面体　⇒　斜方二十・十二面体)

面を吊る

正四面体　⇒　三方四面体　⇒　立方体

立方体　⇒　四方立方体　⇒　菱形十二面体

正八面体　⇒　三方八面体　⇒　菱形十二面体(上に同じ)

正十二面体　⇒　五方十二面体　⇒　菱形三十面体

正二十面体　⇒　三方二十面体　⇒　菱形三十面体(上に同じ)

菱形十二面体　⇒　二重二方十二面体　⇒　凧形二十四面体

菱形三十面体　⇒　二重二方三十面体　⇒　凧形六十面体

頂点をねじる

正四面体　⇒　正十二面体　⇒　立方体

立方体、正八面体　⇒　五角二十四面体　⇒　菱形十二面体

正十二面体、正二十面体　⇒　五角六十面体　⇒　菱形三十面体

(立方体　⇒　正十二面体　⇒　菱形十二面体)

(菱形十二面体　⇒　五角二十四面体　⇒　凧形二十四面体)

(菱形三十面体　⇒　五角六十面体　⇒　凧形六十面体)

拡張シュレーフリ記号

半正多面体を表す記号として、ワイソフ記号やコクセター・ディンキン図形がある。それらに関する解説は玄人に任せておくとして、もう少し素人向けのものとして、正多面体を記述する時に使ったシュレーフリ記号を元にした「拡張シュレーフリ記号」というものもある。これに基けば、半正多面体などは以下のように表現できるとされる。

多面体	拡張シュレーフリ記号
立方八面体	4と3を縦に並べて{}で括った形。
二十・十二面体	5と3を縦に並べて{}で括った形。
切頂～	tを付ける。例えば切頂四面体ならt{3,3}。
斜方～	rを付ける。
変形～	sを付ける。
アルキメデスのn角柱	t{2,n}
アルキメデスの反n角柱	2とnを縦に並べて{}で括ってsを付ける。

ここで、立方八面体→斜方立方八面体という操作が「r」で表されているが、この操作は「双対多面体の面を組み込む」という感じで解釈できる。同様の操作を正四面体に対して行うと正八面体に、正八面体に対して行うと立方八面体になる。そのため、立方八面体はr{3,4}あるいはrr{3,3}とも表現できそうであり、実際に英語版Wikipediaではそういう表記も記述されている。これを利用すれば、正多面体と半正多面体の殆どが{3,3}にt、r、sの組み合わせを付けた形で表現できる。

しかし、立方体と正十二面体、およびそれらの切頂版を{3,3}を用いて記述する方法は見当たらない。ここが拡張シュレーフリ記号の中途半端な点であるが、仮に正四面体→立方体、正四面体→正十二面体となるような記号を作ると、半正多面体を網羅できると同時に、○方系を除くカタランの立体までをも記述できるようになる。後は正四面体→三方四面体の記号を作れば、カタランの立体も全て網羅できる。

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