半正多面体
はんせいためんたい
概要
正多面体を半分にぶった切ったもの…ではなく、正多面体の条件から「全ての面が同じ」という点を除く事で作られる多面体。
アルキメデスの立体とも呼ばれ、紀元前から知られており、以下の13種（鏡像を含めれば15種）が存在。
| 名称 | 頂数 | 辺数 | 面数 | 面形 | 頂形 | 双対 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 立方八面体 | 12 | 24 | 14 | 3(正三角形)と4(正方形) | 4 | 菱形十二面体 | 準正多面体。立方体＋正八面体というイメージ。頂点と中心の間の距離＝辺の長さとなっている。別名：異相双三角台塔、ベクトル平衡体 |
| 二十・十二面体 | 30 | 60 | 32 | 3(正三角形)と5(正五角形) | 4 | 菱形三十面体 | 準正多面体。正十二面体＋正二十面体というイメージ。別名：異相双五角丸塔、二十面十二面体 |
| 斜方立方八面体 | 24 | 48 | 26 | 3(正三角形)と4(正方形) | 4 | 凧形二十四面体 | 立方八面体＋菱形十二面体というイメージ。別名：菱形立方八面体、小菱形立方八面体、切頂菱形十二面体、同相双四角台塔柱 |
| 斜方二十・十二面体 | 60 | 120 | 62 | 3(正三角形)と4(正方形)と5(正五角形) | 4 | 凧形六十面体 | 中ボス。二十・十二面体＋菱形三十面体というイメージ。別名：菱形二十・十二面体、小菱形二十・十二面体、切頂菱形三十面体 |
| 切頂四面体 | 12 | 18 | 8 | 3(正三角形)と6(正六角形) | 3 | 三方四面体 | 「切頂」自体の別名：切頭、切隅 |
| 切頂立方体 | 24 | 36 | 14 | 3(正三角形)と8(正八角形) | 3 | 三方八面体 | 別名：切頂六面体 |
| 切頂八面体 | 24 | 36 | 14 | 4(正方形)と6(正六角形) | 3 | 四方立方体 | 単独で空間充填可能。 |
| 切頂十二面体 | 60 | 90 | 32 | 3(正三角形)と10(正十角形) | 3 | 三方二十面体 | |
| 切頂二十面体 | 60 | 90 | 32 | 5(正五角形)と6(正六角形) | 3 | 五方十二面体 | サッカーボールの形として馴染み深い。 |
| 切頂立方八面体 | 48 | 72 | 26 | 4(正方形)と6(正六角形)と8(正八角形) | 3 | 二重二方十二面体 | 文字通りの切頂では作れない。別名：斜方切頂立方八面体、大菱形立方八面体 |
| 切頂二十・十二面体 | 120 | 180 | 62 | 4(正方形)と6(正六角形)と10(正十角形) | 3 | 二重二方三十面体 | 表ボス。文字通りの切頂では作れない。別名：斜方切頂二十・十二面体、大菱形二十・十二面体 |
| 変形立方八面体 | 24 | 60 | 38 | 3(正三角形)と4(正方形) | 5 | 五角二十四面体 | 鏡像の別有り。別名：変形立方体、ねじれ立方体など |
| 変形二十・十二面体 | 60 | 150 | 92 | 3(正三角形)と5(正五角形) | 5 | 五角六十面体 | 裏ボス。鏡像の別有り。別名：変形十二面体、ねじれ十二面体など |
この「準正→斜方→切頂→変形」という並びは特に正式のものでは無く、覚え易さ的にお勧めの並びである。正式な並びは不明。
互いに密接な関係を持っており、その辺に注目すると覚え易い（後述）。
Semi-regular polyhedronの訳とされるが、Semi-regular polyhedronと言うと凸でないものも含まれる場合がある様子なので、英語の上ではArchimedean solid（アルキメデスの立体）と言った方が恐らく無難（詳細は「正多面体」で）。
正多面体の次に美しい多面体として名高いが、面周りが合同でないため、サイコロにしようとすると出る目の確率に偏りが出てしまう。
双対はカタランの立体であり、こちらはサイコロに向いている。
長方形や菱形には正方形も含まれるが、半正多面体に正多面体は含まれていない。
半正多面体と正多面体の総称は不明だが、共に一様多面体の一種ではあり、「無限系列を含まない凸型の一様多面体」という表現はできる。
一様多面体には更に、先述の「（半正多面体の）凸でないもの」（名称不明。以下、便宜のため星型半正多面体と仮称）も含まれる。
平面充填形バージョンは「アルキメデスの平面充填形」と呼ばれ、8種存在。
名称について
斜方～
斜方立方八面体などの「斜方」は「菱形」の別訳であり、別名の「菱形立方八面体」などはそれによる。
そしてこの「菱形～」という部分は、菱形十二面体や菱形三十面体の事を表している。
実は斜方立方八面体は、立方体と正八面体から立方八面体を作るのと同様の要領で、立方八面体と菱形十二面体から作る事ができる。
そのため、「立方体 ＋ 正八面体 ⇒ 立方八面体」に対し、「立方八面体 ＋ 菱形十二面体 ⇒ 菱形立方八面体 ＝ 斜方立方八面体」となっているわけである。
切頂～
切頂立方八面体と切頂二十・十二面体は、日本語では「斜方～」が付けられる事が多いが、数学的な意味は特に無さげ。
後述の拡張シュレーフリ記号やConway polyhedron notationにおいては、「切頂」にあたる記号だけで表現されており、英語Wikipediaでも切頂に当たる語だけ付ける方が採用されている。
星型半正多面体の一種の大切頂立方八面体に対しても、斜方は付けない方が整合する。
これに斜方を付ける事は恐らく、切頂立方体を「八面切頂立方体」と呼ぶ事に相当しており、名前を無駄に長く解り辛くしている形となっている。
そのため本記事では、斜方を付けない方を採用している。
星型半正多面体には立方切頂立方八面体というものもあるため、もしかしたらそれとの区別という意味合いはあるのかもしれない。
各々「大菱形～」という別名もあるが、これは星型半正多面体の一種である「一様大斜方～」の別名にもなってるため注意が要る。
切頂八面体などは、文字通りに解釈してしまうと切頂七角錐や切頂六角柱も含んでしまうため、切頂正八面体などと呼んだ方が正確そうではあるが、なぜか正を含めないのが一般的となっている。
立方八面体や三方八面体も、意味合い的には立方正八面体、三方正八面体なのであるが、そう呼ばれる事は稀となっている。
類似の現象はジョンソンの立体などでも見られる。
変形～
変形立方八面体と変形立方体が別名同士というのは混乱を招く話である。
なぜなら、変形立方八面体という呼称における「変形」と、変形立方体という呼称における「変形」とで意味が異なってしまう事になるが、実は後者の「変形」も立方八面体に対して行う事ができなくはなく、変形立方八面体に2通りの意味が出来てしまう事になるためである。
これは英語の時点から引きずられている問題となっている。
「変形」「ねじれ」という表現は共に、半正多面体以外の多面体に対しても用いられているが、意味合いの統一性は乏しいため、その辺と比べてもどちらが妥当かは語り辛い。
ただ、星型半正多面体における大変形二十・十二面体、大逆変形二十・十二面体、大反屈変形二十・十二面体という呼称と同じ規則に基けば、変形立方八面体という呼称が妥当となる。
変形立方体という呼称に対しては、それらは「大変形十二面体」「大逆変形十二面体」「大反屈変形十二面体」と呼ぶのが筋となる。
変形立方八面体は、正八面体をねじる事でも作る事ができるため、変形立方体という呼称に対しては「変形八面体」とも呼べる事となり、なぜ立方体基準で呼ぶのかという問題が出て来る。
その点、変形立方八面体という呼称は中立的で無難と言えるかもしれない。
一方、変形立方体という呼称における「変形」という操作が、あらゆる多面体に対して用いる事ができる操作であるのに対し、変形立方八面体という呼称における「変形」という操作は基本的に、特定の条件を満たした多面体にしか用いる事ができず、少し中途半端な操作となる。
準正多面体
立方八面体と二十・十二面体は、準正多面体（Quasi-regular polyhedron）にも分類されている。
準正多面体は半正多面体のサブグループであり、「辺周りが合同な半正多面体」という意味合いで、この2種のみが該当している。
日本語版Wikipediaでは小二重三角二十・十二面体なども準正多面体であると説明されているが、これは半正多面体に星型半正多面体を含む立場の場合の話である。
半正多面体の中で切頂版が存在するのもこの2種のみであるが、正多面体の切頂版とは異なり、文字通りに頂点を切ると切り口が長方形になってしまう点には注意が要る。
半正多面体の性質を満たす他の立体
「ミラーの立体（擬斜方立方八面体）」と「アルキメデスの角柱」（以下単に角柱）と「アルキメデスの反角柱」（以下単に反角柱）も半正多面体の条件を満たすが、一般的にはこれに含めない。
これについて、角柱と反角柱は無限に種類があるからという理由で省かれる事があるが、ミラーの立体は1つしか無いにも関わらず省かれている。
実はミラーの立体は、全ての頂点形状が合同ではあるが、周辺の頂点まで視野に入れると合同ではないため、角柱と反角柱以上に半正多面体に遠い。
例えば、半正多面体の頂点のどれか一つに目印を付けた場合、どの頂点に付けても結果は変わらないし、この性質は角柱と反角柱も持っているが、ミラーの立体は2通りの結果を産む。
ミラーの立体は主にジョンソンの立体に分類され、37というナンバーも振られている。
ジョンソンの立体としては異相双四角台塔柱と呼ばれる。
擬一様多面体というグループにも属している。
なお、どの頂点に目印を付けても結果が変わらないような性質は「頂点推移的（Vertex transitive）」と呼ばれている。
半正多面体の条件の「頂点形状が合同」という部分は、正確には頂点推移的と言うべきなのである。
頂点推移的であれば、必然的に頂点形状も合同となる。
半正多面体同士の関係＆カタランの立体同士の関係
頂点を切り込む深さなどによる関係
■頂点を切る
| 元の図形 | 浅く切頂（Truncate） | 深く切頂（Rectify） |
|---|---|---|
| 正四面体 | 切頂四面体 | 正八面体 |
| 立方体 | 切頂立方体 | 立方八面体 |
| 正八面体 | 切頂八面体 | （同上） |
| 正十二面体 | 切頂十二面体 | 二十・十二面体 |
| 正二十面体 | 切頂二十面体 | （同上） |
| 立方八面体 | 切頂立方八面体（要調整） | 斜方立方八面体（要調整） |
| 菱形十二面体 | 斜方立方八面体 | |
| 二十・十二面体 | 切頂二十・十二面体（要調整） | 斜方二十・十二面体（要調整） |
| 菱形三十面体 | 斜方二十・十二面体 |
■面をねじる
| 元の図形 | 少しねじる | 半角分ねじる |
|---|---|---|
| 正四面体 | 正二十面体 | 正八面体 |
| 立方体、正八面体 | 変形立方八面体 | 立方八面体 |
| 正十二面体、正二十面体 | 変形二十・十二面体 | 二十・十二面体 |
■面を隣接するもの同士で逆方向にねじる
| 元の図形 | 少しねじる | 半角分ねじる |
|---|---|---|
| 正八面体 | 正二十面体 | 立方八面体 |
| 立方八面体 | 変形立方八面体 | 斜方立方八面体 |
| 二十・十二面体 | 変形二十・十二面体 | 斜方二十・十二面体 |
■面の中心を吊る
| 元の図形 | 低く吊る | 高く吊る |
|---|---|---|
| 正四面体 | 三方四面体 | 立方体 |
| 立方体 | 四方立方体 | 菱形十二面体 |
| 正八面体 | 三方八面体 | （同上） |
| 正十二面体 | 五方十二面体 | 菱形三十面体 |
| 正二十面体 | 三方二十面体 | （同上） |
| 立方八面体 | 凧形二十四面体 | |
| 菱形十二面体 | 二重二方十二面体（要調整） | 凧形二十四面体（要調整） |
| 二十・十二面体 | 凧形六十面体 | |
| 菱形三十面体 | 二重二方三十面体（要調整） | 凧形六十面体（要調整） |
■頂点をねじる
| 元の図形 | 少しねじる | 半角分ねじる |
|---|---|---|
| 正四面体 | 正十二面体 | 立方体 |
| 立方体、正八面体 | 五角二十四面体 | 菱形十二面体 |
| 正十二面体、正二十面体 | 五角六十面体 | 菱形三十面体 |
■頂点を隣接するもの同士で逆方向にねじる
| 元の図形 | 少しねじる | 半角分ねじる |
|---|---|---|
| 立方体 | 正十二面体 | 菱形十二面体 |
| 菱形十二面体 | 五角二十四面体 | 凧形二十四面体 |
| 菱形三十面体 | 五角六十面体 | 凧形六十面体 |
拡張シュレーフリ記号
半正多面体を表す記号として、ワイソフ記号やコクセター・ディンキン図形がある。
それらに関する解説は玄人に任せておくとして（外部リンク参照）、もう少し取っ付き易いものとして、正多面体を記述する時に使ったシュレーフリ記号を元にした「拡張シュレーフリ記号」というものもある。
これに基けば、半正多面体などは以下のように表現できるとされる。
| 多面体 | 拡張シュレーフリ記号 |
|---|---|
| 立方八面体 | 4と3を縦に並べて{}で括った形。 |
| 二十・十二面体 | 5と3を縦に並べて{}で括った形。 |
| 切頂～ | t（Truncation、Truncate）を付ける。例えば切頂四面体ならt{3,3}。 |
| 斜方～ | r（Rectification、Rectify）を付ける。 |
| 変形～ | s（Snub）を付ける（変形立方体ではなく変形立方八面体で解釈）。 |
| アルキメデスのn角柱 | t{2,n} |
| アルキメデスの反n角柱 | 2とnを縦に並べて{}で括ってsを付ける。 |
ここで、立方八面体→斜方立方八面体という操作が「r」で表されているが、この操作は「双対多面体の面を組み込む」（または「深い切頂」）という感じで解釈できる。
同様の操作を正四面体に対して行うと正八面体に、正八面体に対して行うと立方八面体になるため、立方八面体はr{3,4}あるいはrr{3,3}とも表現される。
これを利用すれば、正多面体と半正多面体の殆どが{3,3}にt、r、sの組み合わせを付けた形で以下のように表現できる。
| 多面体 | 拡張シュレーフリ記号 |
|---|---|
| 正八面体 | {3,4} = r{3,3} |
| 正二十面体 | {3,5} = sr{3,3} |
| 立方八面体 | r{4,3} = r{3,4} = rr{3,3} |
| 二十・十二面体 | r{5,3} = r{3,5} = rsr{3,3} |
| アルキメデスの反n角柱 | sr{2,n} |
立方八面体は正四面体にrを2回行ったものとなっているが、このようにrを2回行う操作は特に「Cantellation」または「Expansion」と呼ばれている。
前者は率直に見ればカンテラ（Cantera）が語源と思われる所であるが、不明。
アルキメデスの反n角柱をsr{2,n}と表現する方法は、グラフ理論的に考えると一部の線が二重になってしまうという問題を抱えており、同様に考えるならば、アルキメデスのn角柱はrr{2,n}とも解釈できる。
この解釈に基づくと、以下の対応関係が考えられる。
| 元の図形 | rr | sr | rrの双対 | srの双対 |
|---|---|---|---|---|
| 多角形（二面体）、Hosohedron | 角柱 | 反角柱 | 双角錐 | 反双角錐 |
| 正四面体 | 立方八面体 | 正二十面体 | 菱形十二面体 | 正十二面体 |
| 立方体、正八面体 | 斜方立方八面体 | 変形立方八面体 | 凧形二十四面体 | 五角二十四面体 |
| 正十二面体、正二十面体 | 斜方二十・十二面体 | 変形二十・十二面体 | 凧形六十面体 | 五角六十面体 |
ただし星型半正多面体の中には、これによる表現が不明なものも多い。
対してワイソフ記号らならば、それらを表現する方法も存在している。
更なる拡張
拡張シュレーフリ記号の範囲では、正多面体と半正多面体の内、立方体と正十二面体、およびそれらの切頂版のみ、{3,3}を用いて記述する方法が見当たらない。
つまりこの見方においては、拡張シュレーフリ記号は中途半端となっている。
ここで仮に、正四面体→立方体、正四面体→正十二面体となるような記号を作ると、半正多面体を網羅できると同時に、○方系を除くカタランの立体までをも記述できるようになる。
後は正四面体→三方四面体の記号を作れば、カタランの立体も全て網羅できる。
実際、似た記号を用いる方法にConway polyhedron notation（コンウェイ多面体表記法？）というものがあり、こちらはrの代わりにa（ambo）を用い、sr→sとし、以下のようになっている模様。
| 操作 | 操作の名前 | 記号 |
|---|---|---|
| r（立方体→立方八面体など） | Ambo | a |
| sr（立方体→変形立方八面体など） | Snub | s |
| 正四面体→立方体、立方体→菱形十二面体など | Join | j |
| 正四面体→正十二面体、立方体→五角二十四面体など | Gyro | g |
| ○方 | Kis | k |
| 双対 | Dual | d |
更にこれらを組み合わせたものにも名前が付けられており、以下のようになっている。
| 操作 | 操作の名前 | 記号 |
|---|---|---|
| aa（立方体→斜方立方八面体など、Cantellation） | Expand | e |
| jj（立方体→凧形二十四面体など） | Ortho | o |
| ta（立方体→切頂立方八面体など） | Bevel | b |
| kj（立方体→二重二方十二面体など） | Meta / Medial | m |
| td（双対のTruncate） | Zip | z |
| kd（双対のKis） | Needle | n |
拡張シュレーフリ記号においてもConway polyhedron notationにおいても、Snubは回転する方向を問われていないが、回転する方向を片方に限定した場合、立方体と正八面体とでは、回転の結果が丁度鏡像関係になる。
これを利用すれば、鏡像の別も網羅でき、以下のようにまとめられる。