概要
最小の多面体は四面体であり、四つの頂点と四つの三角形から成る。
多角形の三次元版であるが、多角形は頂点の数と辺の数が常に等しい(n角形＝n辺形である)のに対し、多面体の場合は頂点の数、面の数、そして辺の数がだいたいバラバラである。
カタカナ語でポリゴンと呼ばれる事が多いが、ポリゴン(polygon)は本来は多角形の事であり、多面体はポリヘドロン(polyhedron、複数形はpolyhedra)。
主な多面体
正多面体(プラトンの立体)
正多角形の三次元版であり、1種類の正多角形で構成され、全ての頂点の形も等しく凸型。
正多角形が無限種存在するのに対し、こちらは正四面体、立方体(正六面体)、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種しか無い。
この内、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体は双対関係(後述)を成している。
星型正多面体
三次元版の星型正多角形。小星型十二面体、大星型十二面体、大十二面体、大二十面体の4種。この内、小星型十二面体と大十二面体、大星型十二面体と大二十面体が双対となっている。
Wikipediaによれば、元の図形は星型多面体には含まれるが星型正多面体には含まれないっぽい。
この辺の定義はいまいちはっきりしてない感じなので、真に受けない方が無難。
角錐や角柱
角錐は多角形による錐体、角柱は多角形による柱体であり、共にどんな多角形に対しても考える事ができる。同様の性質を持つ主な多面体は他に、双角錐、反角柱(ねじれ角柱)、反双角錐(ねじれ双角錐)、角錐台がある。ただ、反角柱と反双角錐については、正多角形以外を底面とした場合の定義が見当たらない。双角錐は、2つの角錐に切り分けられるのであまり基本的では無いかもしれないが、角柱と双対関係という性質がある。反角柱と反双角錐も双対関係。
双角錐と反双角錐はサイコロに向く。特に後者は10面ダイスで有名かもしれない。
角柱と反角柱の内、底面も側面も全て正多角形のものをアルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱と言う。
半正多面体(アルキメデスの立体)
正多面体の、正多角形を複数種類使ったバージョン。全13種。
サッカーボールの形としてよく見られる切頂二十面体もこの一種。
ミラーの立体とアルキメデスの角柱とアルキメデスの反角柱も条件は満たすが、一般的には含まれない様子。
準正多面体は半正多面体の一種であり、別名では無い様子。
カタランの立体
半正多面体の双対であり、半正多面体と同様全13種。
半正多面体が受け継がなかった正多面体の性質の片割れを受け継いでおり、長さ比や角度もちゃんと一つに決まる。
全ての面が対等なのでサイコロ向き。120面まである。
ミラーの立体の双対と、アルキメデスの角柱＆アルキメデスの反角柱の双対となるような双角錐＆反双角錐も条件を満たすが、一般的には含まれない様子。
一様多面体
正多面体、星型正多面体、半正多面体、星型半正多面体の総称的な。
日本語版Wikipediaによれば、大二重変形二重斜方十二面体なるものは含めないとされているが、英語版では含めるっぽい。
アルキメデスの角柱＆反角柱も含まれる事がある様子。
ジョンソンの立体
正多角形で構成されている凸多面体の内、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱を除いたもの。ミラーの立体を含んで全92種。
「正多角形で構成されている凸多面体」をまとめて整凸面多面体あるいは整凸多面体と呼ぶそうだが、なぜ正でなく整なのか、なぜ凸の後に面が入るのかという説明は見当たらない。
また、各立体の名前は構成面が正多角形のみなのかそうでないのかが曖昧なものが多い。
デルタ多面体
正三角形のみで出来ている凸多面体。正多面体の内の3種とジョンソンの立体の内の5種を合わせて全8種。デルタ十二面体(変形双五角錐)が意外な曲者。
双対関係
立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になり、正八面体の各面の中心を結ぶと立方体に戻る。このように立方体と正八面体は表と裏、陰と陽のような、「まさに双対！」という関係にある。本当に双対関係と言う。
同様の関係は正十二面体と正二十面体の間にもある。正四面体の場合は自分自身が現れる(自己双対)。
半正多面体とカタランの立体も双対関係にあるが、同様の操作では得られない。正多面体の場合は特に特殊な事例であり、バイセクシャル同士のカップルのようなものである。
双対多面体においては、面の数と頂点の数、構成面の角数と頂点に入る辺の数とが入れ替わっており、辺の数は同じである。このあたりはグラフ理論や電気回路にも密接に関わっており、これらにも同様の双対関係が存在している。多面体の場合は一般的に、更に長さや角度なども考慮せねばならない。
ジョンソンの立体のように対称性が乏しいものになって来ると、双対多面体の存在は語られなくなって来る。
関連イラスト
関連タグ
正多面体 星型多面体 星型正多面体 半正多面体 カタランの立体
角錐 角柱 双角錐 反角柱 反双角錐 角錐台 直方体 平行六面体
