正多面体

せいためんたい

正多角形の三次元版。 1種類の正多角形で構成され、なおかつ全ての頂点形状が等しい凸多面体。

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目次 [非表示]

1 概要

2 面や頂点の規則性

3 正多角形との違いと双対関係

4 正多面体同士のその他の関係

5 他の立体との関係

6 広義の正多面体

6.1 正多面体≠プラトンの立体？

7 条件を緩めると？

8 他次元との比較

9 正多面体と古典元素

10 正多面体なキャラ

10.1 正八面体

10.2 正十二面体

10.3 正二十面体

11 関連イラスト

12 関連タグ

13 関連外部リンク

概要

プラトンの立体とも言い、以下の5種が存在（※レイアウトの都合により、頂点の数→頂数、構成面の角数→面形、頂点に入る辺の数→頂形、後述のシュレーフリ記号→シュレ記号としている）。

多面体の名称	頂数	辺数	面数	面形	頂形	シュレ記号	双対	備考
正四面体	4	6	4	3(正三角形)	3	{3, 3}	正四面体（自己双対）	三次元の正単体。
立方体	8	12	6	4(正方形)	3	{4, 3}	正八面体	三次元の正測体。単独で空間充填可能。別名：正六面体
正八面体	6	12	8	3(正三角形)	4	{3, 4}	立方体	三次元の正軸体。
正十二面体	20	30	12	5(正五角形)	3	{5, 3}	正二十面体
正二十面体	12	30	20	3(正三角形)	5	{3, 5}	正十二面体

紀元前から知られており、サイコロによく利用される。

現在は一様多面体の一種に位置付けられており、同時に「一様多面体の双対」の一種でもある。

面や頂点の規則性

名前だけ見れば規則不明だが、上表の「面形」と「頂形」に注目すれば、以下のように簡潔にまとめる事ができる。

↓頂形→面形	3	4	5	6
3	正四面体	立方体	正十二面体	平面(正六角形による正平面充填形)
4	正八面体	平面(正方形による正平面充填形)
5	正二十面体
6	平面(正三角形による正平面充填形)

これを利用し、{面の形, 頂点の形}として各正多面体をズバリ表現できる。

例えば{4, 3}と言えば立方体の事となる。

この表現法をシュレーフリ記号と言う。

シュレーフリ記号は正多角形や正多胞体にも応用され、拡張シュレーフリ記号として半正多面体にも応用される。

正多角形との違いと双対関係

正多面体は正多角形の三次元版に当たるが、事情は随分異なっている。

まず、正多角形が無限種存在するのに対し、正多面体は上記の5種しか存在しない。

次に、正多角形の場合は辺の数と頂点の数が同じであるため正n角形＝正n辺形であるが、正多面体はこの辺やや複雑である。

例えば立方体は面は6つだが、頂点は8つ、辺は12とバラバラであり、構成面の形や頂点の形という要素も加わる。

更に、面の数＝図形の複雑さとも限らない。

例えば、正八面体は面は8つと立方体より多いが、頂点は実は6つと少なく、辺の数は同じ12である。実はこの2つは双対関係（詳細は「多面体」を参照）を成しており、複雑さ具合としては同レベルである。

つまり、正多角形には「正三角形→正方形→正五角形」という縦の繋がりしか無かったが、正多面体には双対関係という横の繋がりも有り、「正四面体→（立方体⇔正八面体）」という感じになっている。

正十二面体と正二十面体も双対関係を成しており、名前だけ見れば正二十面体がラスボスっぽいが、頂点の数で見れば正十二面体の方がゴツい。

一般的に、この2種は同格の二強と捉えるのが妥当（強いて言えば正十二面体の方がむしろ手強いかも。なお正四面体は自己双対）。

まとめると以下のような分岐進化のような形となる。

　　　　┌→立方体─→正十二面体

正四面体┤　　⇕　　　　　⇕

　　　　└→正八面体→正二十面体

正多面体の場合はこのように、名前は性質の一部しか表していない点に注意が要る。

ある意味偏ったネーミングなのである。

もしかしたら別の世界においては、頂点の数を基準として、立方体は正八角体、正八面体は正六角体、正十二面体は正二十角体、正二十面体は正十二角体のように呼ばれているかもしれない。

通常は面の数順に「正四面体・立方体・正八面体・正十二面体・正二十面体」のように並べられるが、頂点の数順ならば「正四面体・正八面体・立方体・正二十面体・正十二面体」という並びとなる。

標準正多胞体という概念においては、正四面体はα、立方体はγ、正八面体はβとされており、ちょうど後者の並びとなっている。

正多面体同士のその他の関係

正四面体の各頂点を辺の中点まで切り込むと正八面体になり、各面をねじって行くと正二十面体→正八面体になる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うと半正多面体となる。
正四面体の各面の中心を適切に吊り上げると立方体となり、各頂点をねじって行くと正十二面体→立方体となる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うと、半正多面体の双対であるカタランの立体となる。
正十二面体の特定の頂点を結ぶと立方体となり、立方体の特定の頂点を結ぶと正四面体となる。
正二十面体の特定の面を伸ばすと正八面体となり、正八面体の特定の面を伸ばすと正四面体となる。
正四面体、正八面体、正二十面体は面の形が共通しており、正四面体、立方体、正十二面体は頂点に入る辺の数が共通している。電気回路においては、前者の面の形は文字形通りの「Δ（デルタ）」で、後者の頂点の形は3本の線が集まってるという事で「Y（ワイ）」で表現する例がある。

他の立体との関係

正四面体は、三角錐の一種であると同時に、線分を底面とした反角柱、反双角錐（ねじれ双角錐）の一種と見る事もできる（反角柱と反双角錐は双対関係）。
立方体は、四角柱の一種であると同時に、反双三角錐（ねじれ双三角錐）の一種でもある。
正八面体は、双四角錐の一種であると同時に、反三角柱の一種でもある（角柱と双角錐は双対関係）。
正十二面体は、反双五角錐（ねじれ双五角錐）の両頭頂点を切ったものの一種。
正二十面体は、反五角柱の両底面を吊り上げたものの一種。
正四面体、正八面体、正二十面体はデルタ多面体の一種。
立方体と正八面体は超二次楕円体の一形態としても現れる。

広義の正多面体

以下は広義の正多面体という見方もあれており、これで正多面体は15種となる。

星型正多面体…凸多面体（任意の頂点同士を結んだ線が多面体の外部を通らない）という条件を省く事で現れる。全4種。
正平面充填形…有限の範囲に収まらなくても良く、更に同一平面上で連なっても良いとする事によって現れる。全3種。
ねじれ正多面体（正スポンジ）…凸多面体である事と有限である事を省く事で現れる。全3種。

正多面体≠プラトンの立体？

英語版Wikipediaによると、正多面体の英名に当たるRegular polyhedronは星型正多面体も含んでいるようであり、通常の正多面体はPlatonic solid（プラトンの立体）、或いはRegular convex polyhedron（凸正多面体？）とされ区別されている。

ねじれ正多面体と正平面充填形までは通常は含まない様子。

同様に、半正多面体の英名Semi-regular polyhedronと準正多面体の英名Quasi-regular polyhedron、ついでに正多角形の英名Regular polygonも、凸でないものを含んでいる様子があり、対して凸な半正多面体（角柱・反角柱を除く）はArchimedean solid（アルキメデスの立体）と呼ばれている。

日本語版Wikipediaでさえ、凸でない多面体を準正多面体と呼んでいる記事もある。

要は、この辺の言葉の定義は未だ未だ曖昧な様子なので、用心しておくに越した事は無い。

条件を緩めると？

「全ての頂点形状が同じ」という条件を省くと、デルタ多面体（正多面体含めて全8種）が含まれて来る。
「全ての面が同じ」という条件を省けば、半正多面体（全13種）、アルキメデスの角柱（無限種存在）、アルキメデスの反角柱（無限種存在）、ミラーの立体が含まれて来る。
以上の両方を省けばジョンソンの立体（全92種）が含まれて来る。
凸多面体という条件と「全ての面が同じ」という条件を省けば一様多面体（正多面体、半正多面体、星型正多面体を含めて全75種）が含まれて来る。
正多面体は、「全ての面と頂点形状と二面角（面と面が辺で繋がる角度）が等しい凸多面体」とも定義できる。
- この定義から「頂点形状が同じ」を省けば、カタランの立体（全13種）とアルキメデスの角柱の双対となるような双角錐（無限種存在）、アルキメデスの反角柱の双対となるような反双角錐（無限種存在）、擬凧形二十四面体が含まれて来る。
- 「面が同じ」を省けば直方体などが含まれて来る。
- 「二面角が同じ」を省けば、正四面体を辺方向に引き伸ばしたような図形（合同な二等辺三角形で構成される傾いた三角錐）が含まれて来る。